Большая Советская Энциклопедия (ЛА)

Большая Советская Энциклопедия

Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:

(i = 1, 2, 3),

где t — время, х, у, z — координаты частицы, a₁, a₂, a₃ — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, r — плотность.

Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z,

а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r как функции t и а₁, a₂, a₃. При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде r = f(Р) (для несжимаемой жидкости r — const).

2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами. Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.

Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.

Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.

Для голономных систем Л. у. в общем случае имеют вид:

(i = 1,2, ..., n),

где q_i— обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы,

 — обобщённые скорости, Q_i — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через q_i и

.

Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Q_i. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты q_i и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно q_i. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости q_i(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.

Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:

(i = 1,2, ..., n),

где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.

Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).

Лит. см. при ст. Механика. О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.

С. М. Тарг.

Лагранжа формула

Лагра'нжа фо'рмула, одна из основных формул дифференциального исчисления; то же, что конечных приращений формула. Найдена Ж. Лагранжем (1797).

Лагранжа функция

Лагра'нжа фу'нкция, кинетический потенциал, характеристическая функция L(q_i,

, t) механической системы, выраженная через обобщённые координатыq_i, обобщённые скорости

 и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через q_i и

, т. е. L = T(q_i,

, t) — П(q_i). Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Лагтинг

Ла'гтинг (lagting), 1) в Норвегии верхняя палата парламента (стортинга); избирается стортингом в составе одной четверти его членов, остальные три четверти депутатов образуют нижнюю палату — одельстинг. 2) На Фарерских островах — выборный орган местного управления.

Ла-Гуайра

Ла-Гуа'йра (La Guaira), город на С. Венесуэлы. 24,5 тыс. жителей (1969). Крупный морской порт на Карибском море (³/₅ импорта страны; грузооборот свыше 1 млн. т в год). Железными и автодорогами соединён с Каракасом. Центр рыболовства. Обработка импортного сырья. Основан в 16 в.