Большая Советская Энциклопедия (МО)
Шрифт:
В классических системах М. л. (для которых справедлив исключённого третьего принципA V `u A или закон снятия двойного отрицания `u `u А 'E А для модальностей имеют место соотношения двойственности, аналогичные «законам де Моргана» `u (А V В ) o (`u А & `u В ) и `u (А & В ) o (`u А V `u В ) алгебры логики и соответствующим эквивалентностям для кванторов , связывающие операторы возможности `a и необходимости с отрицанием `u:
A o `u `a `u A и `aА o `u `u A .
Поэтому в аксиоматических системах М. л. в качестве исходной вводят обычно одну модальную операцию (используя какую-либо из этих эквивалентностей в качестве определения другой операции). Аналогично вводятся и другие модальные операции (не входящие в число логических операций и не выразимые через
Системы М. л. могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (простейшие системы — как трёхзначные: «истина», «ложь», «возможно»). Это обстоятельство, а также возможность применения М. л. к построению теории «правдоподобных» выводов указывают на её глубокое родство с вероятностной логикой .
Кроме рассматривавшихся выше «абсолютных» модальностей, в М. л. приходится иметь дело с т. н. относительными, т. е. связанными с какими-либо условиями («А возможно, если В », и т. п.); формализация правил обращения с ними не вызывает дополнительных трудностей и проводится с помощью аппарата ограниченных кванторов (с использованием предикатов, выражающих ограничительные условия, и логические операции материальной импликации).
Ю. А. Гастев.
Модальность (в языкознании)
Мода'льность в языкознании, понятийная категория, выражающая отношение говорящего к содержанию высказывания, целевую установку речи, отношение содержания высказывания к действительности. М. может иметь значение утверждения, приказания, пожелания, допущения, достоверности, ирреальности и др. М. выражается различными грамматическими и лексическими средствами: специальными формами наклонений; модальными глаголами (например, русскими: «может», «должен»; немецкими: sollen, k"onnen, wollen и др.); другими модальными словами (например, русскими: «кажется», «пожалуй»; английскими: perhaps, likely); интонационными средствами. Различные языки грамматически по-разному выражают разные значения М. Так, английский язык выражает значение ирреальной М. при помощи специального наклонения (т. н. Subjunctive II, например: If you had come in time we should have been able to catch the train), в ягнобском языке формы настояще-будущего времени могут иметь модальные оттенки косвенного приказания, приглашения к действию, решимости сделать что-либо, допущения и др.
Модальность (философ.)
Мода'льность (от лат. modus — мера, способ), способ существования какого-либо объекта или протекания какого-либо явления (онтологическая М.) или же способ понимания, суждения об объекте, явлении или событии (гносеологическая, или логическая М.). Понятие М., введённое по существу ещё Аристотелем , перешло затем в классические философские системы. Слова (термины), выражающие различные модальные понятия, являются предметом рассмотрения и изучения лингвистики (см. Модальность в языкознании). Различие суждений по М., разрабатывавшееся в античной логике учениками и комментаторами Аристотеля Теофрастом, Евдемом Родосским и др., уточнялось далее средневековыми схоластами. В логике и философии нового времени стало традиционным предложенное И. Кантом подразделение суждений на ассерторические (суждения действительности), аподиктические (суждения необходимости) и проблематические (суждения возможности); общепринятое следование суждения «происходит А » из «необходимо А » и суждения «возможно А » из «происходит А » стало основой разработки М. в современной формальной (математической) логике . При этом М., относящиеся к высказываниям или предикатам, называют алетическими, а М., относящиеся к словам, выражающим действия и поступки, — деонтическими. М. делятся далее на абсолютные (безусловные) и относительные (условные) согласно обычному смыслу данных терминов. В современной модальной логике и логической семантике к М. причисляются иногда понятия «истинно» и «ложно», а также «доказуемо», «недоказуемо» и «опровержимо».
Ю. А. Гастев.
Моделей теория
Моде'лей тео'рия, раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.
Основные понятия М. т. — понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Типичным примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0, 1. Простейшие высказывания об этой системе — высказывания типа: «х + у = z при х = 2, у = 3, z = 5», «x у = z при х = 4, у = 2, z = 8», «x < у при х = 2, у = 3». Из простейших высказываний более сложные получаются при помощи пропозициональных связок «и», «или», «если..., то...», «не», а также кванторов «для каждого x ...», «существует такое х , что...». Например, утверждение, что числа u и v взаимно просты, более подробно записывается в виде: «для каждых х, у и z , если u = х · у и v =х · z, то x = 1» и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.
В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор W этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.
Важнейшим из формализованных языков является язык 1-й ступени. Алфавит этого языка состоит из набора W символов отношений и операций; знаков &, V, ®, `u, ", $, обозначающих пропозициональные связки и кванторы (см. ниже); набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если f — символ n– местной операции, а про g1, ..., gn уже известно, что они термы, то f (g1, ..., gn ) есть тоже терм. Простейшие формулы — выражения вида P (g1, ... , gn ), где Р есть n– местный символ отношения, а g1, ..., gn — термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, которые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Например, в формуле
("x ) ($y) (f (x , у ) = z V f (x, у ) = u )
свободными являются z и u , а х и у связаны кванторами. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными x1, ..., xn на каждой алгебраической системе А сигнатуры W определяет n– местное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа u и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой А . Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и пропозициональных связок: (Ф1 & Ф2 ) интерпретируется как «Ф1 и Ф2 », (Ф1 V Ф2 ) — как «Ф1 или Ф2 », (Ф1 ® Ф2 ) — как «если Ф1 , то Ф2 », `uФ — как «неверно, что Ф», ($x )Ф — как «для всех х Ф», ($х )Ф — как «существует х , для которого Ф». Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула ("x ) f (x, х ) = f (f (x, х ), х ), утверждающая, что 2x = 3х для всех х , ложна на натуральных числах, а формула ("x (f (x , x ) = x ® f (x, х ) = f (f (x, х ), х )), утверждающая, что если 2x = х , то 2x = 3х , истинна. Алгебраическая система А называется моделью данного множества S высказываний, если каждое высказывание из S истинно в А . Класс К алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.
Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов — важная часть М. т. Во многих случаях по форме высказываний из S удаётся судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей S. Например, тот факт, что гомоморфные образы и прямые произведения групп снова оказываются группами, есть следствие того, что класс групп может быть определён как совокупность всех моделей такой совокупности высказываний S, что каждое высказывание из S имеет вид ("x1 )... ... ("xn )f = g , где f, g — термы.
Фундаментальный результат М. т. — локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности S высказываний имеет модель, то и S имеет модель. А. И. Мальцев нашёл многочисленные применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.
Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма — Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счетной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.