Большая Советская Энциклопедия (ОБ)

Большая Советская Энциклопедия

Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал — p/2< x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j[f (x)]=x и f [j(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции j (x); например, e^lnx= х (х > 0), 1n (e^x) =

х (— yen < х < yen). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^{– -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

F ^{– 1}[f (x)]=f [f ^{– 1)} x)]=x.

Вообще же f ^{– -1}[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (&sup1; 0) является лишь одним из двух значений f ^{– -1}[f (x)] = x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{– -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿ x + np,

n = 0, ± 1, ± 2,....

Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x и дифференцируема при х = x, причём f'(x₎ &sup1; 0, то f ^{– -1}(y) дифференцируема при у = у и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х &sup1; 0 и f^{– -1}(y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 < х < p/2).

Обратно пропорциональные величины

Обра'тно пропорциона'льные величи'ны, две величины, связанные между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. О. п. в. х и у связаны соотношением ху = k (то есть х =

 и у =

, где k постоянно).

Обратное требование

Обра'тное тре'бование, см. Регрессный иск.

Обратное число

Обра'тное число', число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и

,

 и

 и т.д. Для всякого числа а, не равного нулю, существует обратное

.

Обратные гиперболические функции

Обра'тные гиперболи'ческие фу'нкции, функции, обратные по отношению к гиперболическим функциямsh х, ch х, th х; они выражаются формулами

 (*)

(читается: ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Эти обозначения происходят от лат. area — площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Производные О. г. ф. имеют вид

,

,

.

Поэтому О. г. ф. часто появляются при интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.

О. г. ф., рассматриваемые в комплексной области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются, если в формулах (*) брать для логарифма его главные значения; они обозначаются ar sh z; ar ch z, ar th z. Главные значения О. г. ф. связаны с главными значениями обратных тригонометрических функций формулами

,

,

.

Обратные тригонометрические функции

Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| lb 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| &sup3; 1; две последние функции малоупотребительны.

Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — p/2 lb arc sin х lb p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 lb arc cos х lb p, — p/2 < arc tg x < p/2, 0 <arc ctg x < p. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2pn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например