Большая Советская Энциклопедия (РЕ)

Большая Советская Энциклопедия

y(x, b) = b _{+ b1x + ... + bmx^m}

(этот выбор отчасти объясняется тем, что всякую непрерывную на некотором отрезке функцию можно приблизить полиномом с любой наперёд заданной степенью точности). Оценка неизвестных коэффициентов регрессии b_{, ..., bm и неизвестной дисперсии s² осуществляется наименьших квадратов методом. Оценки}

 параметров b, ..., b_m, полученные этим методом, называются выборочными коэффициентами регрессии, а уравнение

определяет

т. н. эмпирическую линию регрессии. Этот метод в предположении нормальной распределённости результатов наблюдений приводит к оценкам для b, ..., b_m и s², совпадающим с оценками наибольшего правдоподобия (см. Максимального правдоподобия метод). Оценки, полученные этим методом, оказываются в некотором смысле наилучшими и в случае отклонения от нормальности. Так, если проверяется гипотеза о линейной регрессии, то

,

,

где

 и

 — средние арифметические значений x_i и y_i, и оценка

 будет несмещенной для g(х), а её дисперсия будет меньше, чем дисперсия любой другой линейной оценки. При допущении, что величины y_i нормально распределены, наиболее эффективно осуществляется проверка точности построенной эмпирической регрессионной зависимости и проверка гипотез о параметрах регрессионной модели. В этом случае построение доверительных интервалов для истинных коэффициентов регрессии b, ..., b_m и проверка гипотезы об отсутствии регрессионной связи b_i = 0, i = 1, ..., m) производится с помощью Стьюдента распределения.

В более общей ситуации результаты наблюдений y₁, ..., y_n рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями и математическими ожиданиями

Ey_i, = b₁x_1i + ... + b_kx_ki, i = 1, ..., n,

где значения x_ji, j = 1, ..., k предполагаются известными. Эта форма линейной модели регрессии является общей в том смысле, что к ней сводятся модели более высоких порядков по переменным x₁, ..., x_k. Кроме того, некоторые нелинейные относительно параметров b_i; модели подходящим преобразованием также сводятся к указанной линейной форме.

Р. а. является одним из наиболее распространённых методов обработки результатов наблюдений при изучении зависимостей в физике, биологии, экономике, технике и др. областях. На модели Р. а. основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализи планирование эксперимента; модели Р. а. широко используются в статистическом анализе многомерном.

Лит.: Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Айвазян С. А., Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. См. также лит. при ст. Регрессия.

А. В. Прохоров.

Регрессия (математич.)

Регре'ссия в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = x_i наблюдается n_i, значений y_i1, ...,

 величины у, то зависимость средних арифметических

 от x_i и является Р. в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и Y, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х = х величина Y является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины Y по величине Х определяется условным математическим ожиданием Y, вычисленным при условии, что Х = х:

Е(Y ^eх) = u(х).

Уравнение у = u(х), в котором х играет роль «независимой» переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Y по X. Точность, с которой уравнение Р. Y по Х отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х = х:

D(Y ^eх) = s²(x).

Если s²(х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что Y и Х связаны строгой функциональной зависимостью Y = u(X). Если s²(х) = 0 при всех значениях х и u(х) не зависит от х, то говорят, что Р. Y по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. Х по Y и в частности, уравнение Р. х = u(у), = Е(Х"iY = у). Функции у = u(х) и х = u(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.