Большая Советская Энциклопедия (РИ)
Шрифт:
Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения
L [u] = 0 (1)
(L — некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:
u = 0. (2)
Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [u] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность)
где yi (x, y) (i = 1, 2,..., n) — линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y1(x, у), y2(х, у),..., yп (х, у),..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты ai выбирают так, чтобы функция L [un] была ортогональна в D первым n функциям системы yi (x, y):
Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона
при условии u = 0 на S. Выбирая систему функций yi (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:
Функции yi (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w(x, y) — непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w(x, y) > 0 внутри D, w(x, y) = 0 на S. Тогда в качестве системы функций yi (x, y) можно взять систему, составленную из произведений w(x, y) на различные степени х и y:
Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа для решения уравнений вида Au — f = 0, где А — линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u — искомый и f — заданный элементы пространства H.
Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова — Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).
Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, «Вестник инженеров», 1915, т. 1, № 19, с. 897—908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. — Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur L"osung gewisser Randwertaufgaben, «Gesellschaft der Wissenschaften zu G"ottingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten», G"ottingen, 1908; его же, "Uber еще neue Methode zur L"osung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, «Journal f"ur die reine und angewandte Mathematik», 1909, Bd 135.
В. Г. Карманов.
Риу-Бранку
Ри'у-Бра'нку (Rio Branco), река в Бразилии, левый приток Риу-Негру (бассейн Амазонки). Образуется слиянием рр. Урарикая и Такуту. Длина её с р. Урарикая, берущей начало на восточных склонах хребта Серра-Парима под названием Парима, 1300 км, площадь бассейна около 195 тыс. км2. Река течёт по Гвианскому плоскогорью и Амазонской низменности. Летние (июнь, июль) паводки. Средний расход воды около 5400 м3/сек. Судоходна до селения Каракараи, в высокую воду — до г. Боа-Виста.
Риу-Гранди (город в Бразилии)
Ри'у-Гра'нди (Rio Grande), город на Ю.-В. Бразилии, в штате Риу-Гранди-ду-Сул. 116,8 тыс. жителей (1970, с пригородами). Ж.-д. станция Порту входа в озеро-лагуну Патус (ошибочно принятое португальцами за большую реку, откуда и название города); грузооборот 3,1 млн. т (1971), вывоз риса, мясопродуктов, шерсти, кожсырья. Пищевая (мясо- и рыбоконсервная, пивоваренная и др.), табачная, кожевенно-обувная, химическая промышленность. Основан в 1737.
Риу-Гранди (река в Бразилии)
Ри'у-Гра'нди (Rio Grande), река на Ю.-В. Бразилии, левая составляющая реки Параны. Длина 1230 км, площадь бассейна 170 тыс. км2. Берёт начало близ Атлантического побережья в горах Серра-да-Мантикейра, течёт по Бразильскому плоскогорью, образуя несколько водопадов. Питание дождевое, многоводна в январе — марте. Средний расход воды 2000 м3/сек. В верхнем течении крупное водохранилище Фурнас объёмом 20,2 км3 и ГЭС мощностью 1,2 Гвт. Р.-Г. местами судоходна.
Риу-Гранди-ду-Нирти
Ри'у-Гра'нди-ду-Ни'рти (Rio Grande do Norte), штат на С.-В. Бразилии. Площадь 53 тыс. км2. Население 1,6 млн. чел. (1970). Административный центр — г. Натал. Основа экономики — отсталое сельское хозяйство. На побережье Атлантического океана выращивают сахарный тростник, на З. — длинноволокнистый хлопчатник, на Ю. — сизаль (около 30% общенационального сбора). Сбор воска карнаубской пальмы (2-е место в стране). Добывают вольфрам, поваренную соль. Переработка с.-х. сырья.