Деление на ноль

Чан Тед

— Значит, ты не можешь найти ошибки?

Он покачал головой.

— Куда мне! Я попал в ту же колею, что и ты. Могу рассматривать это только под одним углом.

Рене давно уже выбралась из колеи: она нашла совершенно иной подход, но он только подтвердил исходное противоречие.

— Ладно, спасибо, что попытался.

— Дашь это посмотреть кому-нибудь еще?

— Да. Думаю послать Каллагану в Беркли. Мы переписываемся с прошлой весны, после конфе­ренции.

Фабризи кивнул:

— Его последняя статья производит сильное

впечатление. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет. Любопытство, понимаешь ли.

Сама Рене употребила бы слово посильнее, чем «любопытство».

5b

Не мучится ли Рене из-за работы? Карл знал, что в математике она никогда не видела трудно­стей, один только интеллектуальный вызов. Может, она впервые столкнулась с проблемой, на которой застряла? Вообще бывает ли в математике такое? Сам Карл был чистым экспериментатором; на деле он даже не знал, как Рене строит свою новую мате­матику. Звучит глупо, но вдруг у нее кончились идеи?

Рене была слишком взрослой, чтобы испыты­вать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, - что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на не­сколько лет, к этому порогу?

Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в акаде­мической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?

Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда во­ображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладыва­лось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.

6

В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика со­держит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь эле­ментарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и ка­жущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.

Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана ника­ким методом, опирающимся на аксиомы арифме­тики. Иными словами, арифметика как формаль­ная система не может гарантировать от таких ре­зультатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.

6a

И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:

— Рене, очевидно; что... Она его оборвала:

— Хочешь знать, что

меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. — Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. — Подожди, это займет всего минутку.

Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.

Посередине она провела черту «верху вниз, раз­делив страницу на две колонки. Вверху первой по­ставила цифру 1, вверху второй — цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, кото­рые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.

Приблизительно в двух третях от начала стра­ницы Рене стала сводить длинные серии символов ко все более коротким. «А теперь завершающий штрих», — подумала она. Осознала, что слишком давит на бумагу, и ослабила хватку — пальцы уже не так сжимали карандаш. В следующей строке се­рии стали идентичными. Внизу страницы поверх разделительной черты она с силой вывела знак ра­венства.

Лист она протянула Карлу.

Он только поглядел на нее, показывая, что не понимает.

— Посмотри наверх. — Он посмотрел. — Теперь посмотри вниз.

Он нахмурился.

— Не понимаю.

— Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.

Карл как будто пытался что-то вспомнить.

— Это ведь деление на ноль, верно?

— Нет. Тут нет никаких запрещенных опера­ций, никаких некорректно заданных условий, ни­каких независимых аксиом, которые бы подразуме­вались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.

Карл покачал головой.

— Подожди-ка. Очевидно, что единица не рав­на двум.

— Но формально равна — доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное — в рамках абсолютно бесспорных утверждений.

— Но ты получила противоречие.

— Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.

6b

— Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?

— Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошиб­ки нет.

— Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?

— Точно.

— Ты... — Он остановился, но слишком позд­но. Она поглядела на него враждебно. Ну конеч­но, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.

— Теперь понимаешь? — спросила Рене. — Я опровергла большую часть математики. Иными сло­вами, она утратила смысл.

Она становилась все более возбужденной, по­чти пришла в смятение.

— Как ты можешь такое говорить? — Карл тща­тельно подбирал слова. — Математика все еще ра­ботает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.