Чтение онлайн

на главную

Жанры

Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.
Шрифт:

расстояние 2 = (C x сторона 1) 2+ сторона 2 2,

где C— множитель, необходимый, чтобы перевести ярды в метры, одна из глубоко чтимых фундаментальных констант этого царства.

Здесь мы можем отступить от нашей мифической версии Хаммурапи, с его формулой, его эффективностью и его налогами. Более важно, что вечная польза, для которой он предназначал эту формулу, заключается в том, что он идентифицировал выражение, некоторым образом передающее свойства пространства

Месопотамии. Неизвестный индиец, написавший Сульвасутру(Правила веревок), расчеты для таинственных сакральных церемоний священнослужителей ведической эры (около 500 лет до н.э.), тоже знал эту формулу, поскольку брахманы нуждались в надежно спроектированном и построенном прямоугольном алтаре. Китайцы Чжан Цан и Цин Чоу-чан, составившие в период Хань (начавшийся в 200 г. до н.э.) сборник, содержавший математические сведения, тоже знали ее.

Как мы увидим, существование частной формулы для расстояния между двумя точками соответствует существованию геометрии, описанию пространства в терминах точек, линий, плоскостей и объемов, которые могут существовать в нем. Чтобы определить геометрию пространства, в котором мы обитаем, надо определить формулу. Определение геометрии пространства Месопотамии, данное Хаммурапи, потребовало двух шагов. Сначала мы должны определить единицы вдоль различных координатных осей; затем мы должны найти формулу, которая задает расстояние между двумя точками. Из того, что такая же величина Cгодится для Индии и Китая, следует, что пространство в Индии и Китае имеет ту же геометрию, что и пространство Месопотамии. Доказательствотого, что формула Хаммурапи пригодна для любого поля всюду во Вселенной, а не только в Месопотамии, возможно, было сделано Пифагором и его школой, но надежные свидетельства того, что они сделали нечто большее, чем просто использовали ее, отсутствуют. Чтобы найти доказательство этой теоремы, мы должны обратиться к НачаламЕвклида, написанным примерно 2300 лет назад и с тех пор воспроизводимым, но причин полагать, что ее доказал сам Евклид, не существует.

Евклид обнаружил, что он может вывести характеристики пространства, включая дедуктивную формулу Хаммурапи, из пяти простых и кажущихся очевидными утверждений, из своих «аксиом». Это было поистине замечательным достижением. Если бы я писал эту книгу 2000 лет назад, я обязательно включил бы аксиомы Евклида в число великих идей науки, поскольку, если не считать одного маленького дефекта, они удовлетворяют критериям, предъявляемым великой идее: они просты, но содержат неограниченно богатые следствия. Дефект, конечно, заключается в том, что они неверны (в том смысле, что они неточно описывают пространство, в котором мы обитаем); но мы можем ненадолго пренебречь этим и воздать Евклиду почести, которые он заслужил.

Евклид сжал свое описание пространства в следующие пять замечаний:

1. Между любыми двумя точками можно провести прямую.

2.Прямая линия без ограничений может продолжаться в любом направлении.

3. Можно построить круг с любым центром и любого радиуса.

4. Все прямые углы равны друг другу.

5. Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку одну, и только однупрямую, параллельную данной.

(Я несколько упростил эти утверждения, но сохранил их суть.) Пятая аксиома известна как постулат о параллельных прямых. Он ответственен за большее количество бед, чем почти любое другое утверждение в математике, ибо он имеет более сложный вид по сравнению с другими, соблазнительно намекая, что его можно доказать с помощью четырех более простых аксиом. Целые жизни напрасно были растрачены на безуспешные попытки вывести эту аксиому из других. Теперь мы знаем, что она независима от других аксиом и что можно придумать абсолютно приемлемые геометрии, в которых постулат о параллельных прямых заменен другими, таким, например, как:

5'.Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, нельзя провести через эту точку ни однойпрямой, параллельной данной.

Или даже:

5''.Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку бесконечное числопрямых, параллельных данной.

Описание пространства, использующее постулат Евклида о параллельных прямых, называется евклидовой геометрией; описания, основанные на альтернативных постулатах, называются неевклидовыми геометриями.

Пока что мы сосредоточимся на евклидовой геометрии, так как она, безусловно, выглядит подходящей для пространства, в котором мы живем. В тринадцати книгах Евклида показано, что из этих пяти аксиом может быть выведено огромное количество свойств, и эти свойства оказываются верными при их проверке с помощью практических измерений. Одним из следствий этих аксиом, и, в частности, постулата о параллельных прямых, является теорема Пифагора. Поэтому существование нашей мифической формулы Хаммурапи для расстояниявытекает из пяти аксиом Евклида, и геометрия Хаммурапи тоже является евклидовой.

Итак, мы сформулировали евклидову геометрию на плоскости, в плоской двумерной области, похожей на поверхность листа бумаги. Однако мы все знаем, или думаем, что знаем, что обитаем в трехмерном пространстве и обладаем свободой движения вверх и вниз так же, как по плоскости. Теорему Пифагора легко распространить на три размерности, включив длину третьей стороны и записав:

расстояние 2= сторона 1 2+ сторона 2 2+ сторона 3 2.

Мы не обязаны останавливаться на этом. Математики живут ненасытной страстью к обобщениям, и евклидова геометрия является богатой почвой для обобщений. Хотя большинство из нас не может вообразить что-нибудь за пределами наших домашних трех измерений, легко выразить свойства пространств больших размерностей, используя формулы. Так четырехмерная формула Пифагора будет иметь вид:

расстояние 2= сторона 1 2+ сторона 2 2+ сторона 3 2+ сторона 4 2.

Вы могли бы подумать, что в размышлениях о пространствах с более высокими, чем три, размерностями мало пользы, если не считать интеллектуального удовольствия, но вы были бы неправы. Мы увидим, к примеру, что способность переходить из размерности в размерность является ценным способом изучения структуры нашего мира. Более того, можем ли мы быть уверены, что в нашем реальном мире имеются только три измерения, или есть несколько — даже много — других измерений, которые как-то спрятаны от нас? Мы видели в главе 8, что такой уверенности нет, так как, может быть, мы обитаем в десятимерном пространстве с дополнительным измерением в виде времени.

Поделиться:
Популярные книги

Мастер Разума IV

Кронос Александр
4. Мастер Разума
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Мастер Разума IV

Наследник с Меткой Охотника

Тарс Элиан
1. Десять Принцев Российской Империи
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Наследник с Меткой Охотника

Охота на попаданку. Бракованная жена

Герр Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.60
рейтинг книги
Охота на попаданку. Бракованная жена

Я еще не барон

Дрейк Сириус
1. Дорогой барон!
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я еще не барон

"Фантастика 2023-123". Компиляция. Книги 1-25

Харников Александр Петрович
Фантастика 2023. Компиляция
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Фантастика 2023-123. Компиляция. Книги 1-25

Убивать, чтобы жить

Бор Жорж
1. УЧЖ
Фантастика:
героическая фантастика
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Убивать, чтобы жить

Береги честь смолоду

Вяч Павел
1. Порог Хирург
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Береги честь смолоду

(Не)нужная жена дракона

Углицкая Алина
5. Хроники Драконьей империи
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.89
рейтинг книги
(Не)нужная жена дракона

Вечная Война. Книга VI

Винокуров Юрий
6. Вечная Война
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
7.24
рейтинг книги
Вечная Война. Книга VI

Неожиданный наследник

Яманов Александр
1. Царь Иоанн Кровавый
Приключения:
исторические приключения
5.00
рейтинг книги
Неожиданный наследник

Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

Тарс Элиан
1. Аномальный наследник
Фантастика:
боевая фантастика
альтернативная история
8.50
рейтинг книги
Аномальный наследник. Том 1 и Том 2

На границе империй. Том 9. Часть 3

INDIGO
16. Фортуна дама переменчивая
Фантастика:
космическая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 9. Часть 3

Медиум

Злобин Михаил
1. О чем молчат могилы
Фантастика:
фэнтези
7.90
рейтинг книги
Медиум

Мимик нового Мира 10

Северный Лис
9. Мимик!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
альтернативная история
постапокалипсис
рпг
5.00
рейтинг книги
Мимик нового Мира 10