Дневники. Письма. Трактаты. Том 2

Дюрер Альбрехт

(слева) Эта линия употребляется для епископского посоха.

(справа) Эта линия употребляется для побега с листвой.

Древние показали, что можно сделать три рода сечений конуса, которые отличались бы друг от друга и не имели бы одинаковой с его основанием циркульной формы. Еще можно сделать сечение посередине конуса, которое будет иметь подобную конусу форму; его не принимают в расчет. Но я хочу научить построению первых трех сечений, каждое из которых дает особую линию, а также вычерчиванию этих линий. Первое сечение ученые называют эллипсом, оно разрезает конус наклонно, не срезая ничего от основания. Этот наклонный срез должен быть сделан с одной стороны выше, а с другой – ниже, так что с одной стороны он ближе к основанию, а с другой – дальше. Второе сечение образует в чертеже линию, парную стороне конуса abили противоположной, по желанию; его ученые называют параболой. Третье сечение образует в чертеже отвесную линию, парную линии, проведенной из центра конуса вверх до его вершины; это они называют гиперболой. Я не умею назвать эти три линии по-немецки, но мы дадим им наименования, чтобы можно было их узнавать. Эллипс я буду называть яйцевидной линией, потому что он почти подобен яйцу. Парабола пусть называется зажигательной линией, ибо если сделать из нее зеркало, то оно будет зажигать. Гиперболу же я буду называть вилообразной линией.

Если теперь я захочу

начертить яйцевидную линию – эллипс, я должен сначала начертить конус, показать на нем сечение сделать внизу его план. Это я делаю следующим образом… [48]

Параболу следует делать подобным же образом, как и эллипс… [49]

Если же ты хочешь сделать из вышеназванной параболы, или зажигательной линии, зажигательное зеркало, то сделай высоту до вершины конуса, из которого ты будешь вырезать параболу, не больше ширины его основания или пусть конус будет иметь форму правильного треугольника. Если ты затем рассечешь его по параболе и возьмешь эту линию и сделаешь по ней вогнутое зеркало и срежешь его немного спереди, то в точке, где соберутся преломившиеся лучи солнца, они будут очень сильно жечь. Чтобы понять это, ты должен прежде всего обратить внимание на то, что каждая видимая в зеркале вещь отражается от зеркала так же, как она туда попадает, но будет видна в стороне, противоположной той, где она в действительности находится. Поэтому левое становится правым и наоборот. Для лучшего понимания я нарисую это внизу. Итак, я провожу поперечную линию ab, под ней понимай плоское зеркало или воду, в которую ты смотришь. Затем с одной стороны наверху я устанавливаю свет с и ставлю напротив, с другой стороны, человечка, который смотрит в зеркало или воду. Если обозначить его глаз d, то глаз увидит свет не раньше, чем углы [наклона] светового луча с, и линии луча зрения dокажутся равными. Это получается следующим образом. Если ты проведешь из точки е, где происходит отражение, отвесную линию вверх и поставишь циркуль одной ножкою в эту точку, другою же ножкою проведешь вверх от линии ab[дугу] и, измерив, найдешь, что луч света с и луч зрения dнаходятся на одинаковом расстоянии от отвесной линии, то это и будет точка, в которой можно увидеть свет. Если же теперь твое зрение будет направлено через зеркало вниз, то пересечение опущенной из верхнего света с вниз отвесной линии и линии dпокажет, на какой глубине будет виднеться свет в воде или в зеркале. Сходным же образом в соответствии со своей природой перекрещиваются лучи солнца в сделанном из линии параболы зеркале, причем все они, выходя из зеркала, собираются в одной точке и сильно жгут, а в чем причина этого, показали математики; кто захочет, может это прочитать. Здесь ты увидишь нарисованным это мое предыдущее объяснение… [50]

48

Следует описание построения эллипса из сечения конуса.

49

Следует описание построения параболы из сечения конуса.

50

Далее следует описание построения гиперболы и ряда других кривых и их сочетаний, а также описание специальных приспособлений, предназначенных для вычерчивания таких кривых.

И как я здесь ранее обещал, я начертил некоторые линии, но можно начертить еще множество других для всяких надобностей, и из них можно сделать удивительные вещи. И кто поразмыслит сам о предыдущем и попробует сделать своими руками, тот извлечет из этого пользу и пойдет дальше.

Из книги II

Показав выше, как следует вычерчивать некоторые линии, я хочу теперь перейти, как я обещал в начале, к планам, или плоскостям, и научить делать некоторые из этих фигур.

Чтобы было понятно, что такое план, или плоская фигура, то это такая вещь, которая, будучи ограничена и отделена линиями, не заключает в себе никакого тела. Такие фигуры образуются частью прямыми, частью кривыми, а некоторые и прямыми и кривыми линиями вместе. И подобно тому, как линии ограничивают поверхности, таким же образом поверхности ограничивают тела… [51]

Если хотят воспользоваться линиями окружности, располагая их на полу или на стене, [52] можно сочетать их друг с другом двояким образом: во-первых, при посредстве прямоугольных квадратов, во-вторых, при посредстве ромбов. В первом случае сделай правильный квадрат с равными сторонами и углами и раздели его четырьмя парными линиями, отвесными и поперечными, на девять маленьких квадратов и помести в середине каждого точку; и возьми циркуль и помещай его одною ножкою в эти точки одну за другой, другую же ножку открой на такое расстояние, чтобы она коснулась в каждом квадрате всех четырех сторон, и прочерти ею. Тогда каждая окружность коснется четырех других, а между каждыми четырьмя окружностями останутся везде вырезанные вогнутые четырехугольные поля. Во втором случае окружности сочетаются в ромбах, тогда всякий раз между тремя окружностями останутся вырезанные вогнутые треугольные поля. Сделай это следующим образом. Начерти прямоугольник 1, 2, 3, 4 высотою в четыре правильных треугольника, стоящих друг на друге сторонами и вершинами, а шириною в три таковых же, касающихся друг друга углами так, чтобы весь прямоугольник содержал двадцать четыре треугольника – половин и целых, – и обозначь треугольники возле отрезающих их поперечных линий в их углах а, b, с– до г. Затем помещай циркуль одной ножкой в обозначенные буквами точки, другую же ножку открой на половину длины стороны треугольника и проведи из каждой обозначенной буквой точки окружность. Тогда получится семь полных окружностей и десять половинных, что составит двенадцать полных окружностей. И если поместить много таких окружностей друг возле друга, то всегда шесть из них будут касаться седьмой.

51

Следует описание углов и построения различных фигур на плоскости.

52

Речь идет об использовании орнамента, составленного из сочетаний окружностей, для украшения стен и полов.

Можно также различными способами переплетать циркульные линии и делать из этого много вещей. Я покажу из них только один способ или три одного рода, из чего можно вывести все дальнейшее самому. Я описываю окружность из центра а, разделяю ее двенадцатью точками на равные части и провожу из каждой точки циркулем, раскрытым на неизменное расстояние, окружность, касающуюся центра а. Тогда двенадцать окружностей будут пересекать центр тринадцатой а. Затем я провожу внутри большой окружности из центра а еще четыре окружности, которые проходят через точки пересечения прежних и обозначены а, b, с, d, eи т. д.

Кто захочет вписать в окружность шестиконечную звезду, тот пусть сделает ее с помощью раскрытого на неизменное расстояние циркуля следующим образом. Опиши из центра а окружность и поставь одну ножку циркуля в точку Ъ в верхней части окружности и проведи другой ножкой циркуля круглую черту через центр а от одного конца окружности до другого, там поставь gи с. Затем поставь одну ножку циркуля в точку g, другою проведи линию из точки b через центр а до окружности. Там поставь f. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку с и прочерти другою ножкою из точки b через а до окружности, там поставь d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку dи прочерти другою из с через а до окружности, там поставь е. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку е и прочерти другою из точки f через а в d. Затем поставь циркуль одной ножкою в точку f и прочерти другою ножкою из gчерез а в е, тогда это готово. Затем ты сдвигаешь ножки циркуля и проводишь маленькие окружности между буквами… [53]

53

Следует описание построения других вписанных в окружность орнаментов.

Все это я далее нарисовал. И из этого ты можешь извлечь еще многое другое. Можно также вычертить много удивительных узоров, используя части окружности.

Теперь я намереваюсь показать сочетания некоторых многоугольных фигур, которые можно перенести на пол. [54] Во-первых, это треугольники; выше они уже были показаны вместе с окружностями, но я все же хочу нарисовать их здесь дальше без окружностей и научить сочетать их иным образом… [55]

54

Т. е. пригодных для составления узоров паркетных и каменных мозаичных полов.

55

Следует описание построения сочетаний треугольников.

Если сочетать друг с другом правильные квадраты, то всякий раз получится одно и то же, с той разницей, что их можно располагать либо наискось, либо поперечно. Но их можно и смещать, как это делают каменотесы, связывая свои квадры, как нарисовано ниже.

Ромбы же, имеющие друг против друга по два широких и по два узких угла, можно сочетать друг с другом двояким образом. Во-первых, так, чтобы все они разделялись косыми крестообразными линиями. В другом случае прислони два из них сторонами друг к другу, третий же вдвинь поперечно между ними, – тогда это будет выглядеть, как куб, [56] – и таким же образом ставь их дальше друг на друга. Если соединить восемь ромбов их острыми углами, то получится звезда. Это можно сделать и шестью и пятью, как нарисовано выше… [57]

56

В тексте: «W"ufel» – буквально «игральная кость». Термин этот впоследствии сохранился в немецкой геометрии для обозначения куба. Наряду с ним Дюрер употребляет иногда и латинское слово «cubus».

57

Следует описание сочетаний других фигур.

Можно также соединять на плоскости различные фигуры – треугольники, квадраты, пятиугольники, шестиугольники, семиугольники и восьмиугольники, из которых можно делать много удивительных вещей для деревянных и каменных полов, как было указано выше. Также можно сочетать неправильные и правильные фигуры, из чего можно сделать красивые и необыкновенные вещи, причем получаются удивительные линии и узоры. Если бы я должен был все это здесь показать, книжечка стала бы слишком длинной. Поэтому пусть каждый придумывает дальше сам… [58]

58

Следует описание способов построения подобных геометрических фигур.

Из книги III

Показав выше некоторые из плоских фигур, я намереваюсь далее рассказать частично о телесных вещах. [59] Сначала я хочу вывести их из плоских фигур следующим образом.

Я беру прежде всего круглую поверхность abedс центром а и поднимаю ее вверх, насколько я захочу, тогда из этого получится круглая колонна… [60]

Поскольку я начал раньше говорить о колоннах, я хочу написать об этом еще немного. Колонны могут быть сделаны весьма различных видов, и прочность их должна соответствовать тому, что они должны нести. Некоторые делают колонны с подножием и главою, другие же делают столбы, торчащие прямо из пола. Наверху же их разделяют на части соответственно аркам сводов или делают столб гладким и спускают на него лишенные украшения арки, причем иногда получается, что стержни, желобки и другие взаимно противоположные вещи перекрещиваются друг с другом. [61] Тот, кто делает это правильно, может достигнуть необычного и сильного впечатления, как хорошо известно искусным строителям. В подобных столбах могут быть применены различные сочетания желобков, стержней, полочек, выступающих и западающих углов. [62] Но все эти вещи должны быть тщательно вычерчены в плане и затем построены в соответствии с ним. Можно поставить друг против друга четыре столба одинаковой величины, каждый из которых имеет в плане свой особый узор. Когда они воздвигнуты и части столбов смыкаются в свод, это выглядит удивительно. Кто же предпочитает одинаковые вещи, пусть следует своему вкусу. Но поскольку многие, имея достаток, питают большую любовь к редкостным чередованиям в сводах, я хочу начертить ниже одно или два, чтобы те, кому они понравятся, могли ими воспользоваться. Кроме того, я сделаю или начерчу некоторые планы для столбов, а также несколько выступающих карнизов, которые применяются внизу столбов, над полом и бывают высокими или низкими. [63] В этих вещах пусть каждый сам обращает внимание на правильность пропорций, ибо если бы надо было описать все эти вещи подряд, книжечка стала бы слишком длинной. Планы же, вычерчиваемые простыми штрихами, следует с самого начала выполнять в правильных размерах, как показывают нарисованные далее карнизы. Можно также применять в столбах сочетания всякого рода углов и украшать их как угодно.

59

Под «телесными вещами» Дюрер подразумевает объемные тела.

60

Следует описание построения призмы, конуса, пирамиды и других геометрических тел.

61

Речь здесь идет о перекрещивающихся в сводах готических зданий пучках нервюр, которые, спускаясь затем на столбы, сообщают им сложный изрезанный профиль.

62

Речь идет об архитектурных профилях. Термины, которые применяет здесь Дюрер, имели хождение в строительных мастерских.

63

Дюрер имеет здесь в виду базы колонн и столбов.