Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика
Шрифт:
* Эта лекция никак не связана со всем остальным. Она прочитана лишь для того, чтобы отвлечься от основной темы и немного передохнуть. (Перевод надписей, сделанных на доске, приведен около рисунков, над стрелками.— Прим. ред.)
Глава 20
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ПУСТОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Волны в пустом пространстве; плоские волны
§ 2. Трехмерные волны
§ 3. Научное воображение
§ 4. Сферические волны
Повторить: гл. 47 (вып. 4)
§ 1. Волны в пустом пространстве; плоские волны
В гл. 18 мы достигли того, что уравнения Максвелла появились в полном виде. Все, что есть в классической теории электрических и магнитных полей, вытекает из четырех уравнений:
Когда мы свели все эти уравнения воедино, мы обнаружили новое знаменательное явление: поля, создаваемые движущимися зарядами, могут покинуть источник и отправиться путешествовать в пространстве. Мы рассмотрели частный случай, когда внезапно включается целая бесконечная плоскость. После того как в течение времени t шелток, возникают однородные электрические и магнитные поля, простирающиеся от плоскости на ct. Предположим, что по плоскости yz течет ток в направлении +yс поверхностной плотностью J. Электрическое поле будет иметь только y-компоненту, а магнитное — только z-компоненту. Величина компонент поля будет равна
(20.2)
для положительных x, меньших ct. Для больших x поля равны нулю. Равные по величине поля простираются на то же расстояние от плоскости в направлении отрицательных y. На фиг. 20.1 показан график зависимости величины полей от x в момент t. С течением времени «волновой фронт» в ct распространяется вдоль х с постоянной скоростью с.
Фиг. 20.1. Зависимость электрического и магнитного полей от х через t сек после того, как была включена заряженная плоскость.
Теперь представим себе такую последовательность событий. На мгновение мы включаем ток единичной силы, а затем внезапно увеличиваем его силу втрое и поддерживаем его на этом уровне. Как же будут теперь выглядеть поля? Это можно узнать таким образом. Во-первых, надо представить ток с единичной силой, включенный при t=0 и больше не менявшийся. Тогда поля при положительных х будут иметь вид, представленный на фиг. 20.2, а. Затем надо задать себе вопрос, что произойдет, если в момент t1 включить постоянный ток силой в две единицы?
В этом случае поля станут вдвое больше, чем прежде, но отойдут по х только на промежуток c(t-t1) (фиг. 20.2, б). Складывая эти два решения (по принципу суперпозиции), мы получаем, что сумма источников — это ток силой в одну единицу с момента нуль до момента t1и ток в три единицы в более поздние моменты. В момент t поля меняются вдоль х так, как показано на фиг. 20.2, в.
Возьмем теперь более сложную задачу. Рассмотрим ток, имевший сначала силу в одну единицу, а затем достигший силы в три единицы и выключенный. Каковы будут поля от такого тока? Решение можно получить точно так же, как и раньше,
Фиг. 20.2. Электрическое поле плоскости с током.
а — одна единица тока включена в момент t=0; б—две единицы тока включены в момент t=t1; в — суперпозиция а и б.
Фиг. 20.3. Если сила источника тока меняется так, как на рисунке (а), то в момент t электрическое поле как функция от х приобретает другой вид (б).
т. е. складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже решали). Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в минус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от t=0 до какого-то более позднего момента, скажем, до t1, затем ток силой в три единицы до момента t2, а потом ток, равный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фиг. 20.3, а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с расстоянием х в данный момент t подобны изображенным на фиг. 20.3, б. Поле в точности отображает собой ток. Распределение поля в пространстве есть точное отражение изменений тока со временем, но только нарисованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью с, так что получается ломтик полей, который движется к положительным х и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по изменению электрического или магнитного поля безошибочно рассказать, как менялся ток в источнике.
Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи сошли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство. Получается распределение электрических и магнитных полей, которое существует независимо от токов и зарядов. Это и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если нужно, представить только что проделанный анализ в строго математической форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источнике, но не в то же время, а в более ранний период [t-(x/с)]. Можно написать
Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это уравнение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поля создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение электрическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющимися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излучения, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого точечного заряда. Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.