Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Этот результат можно про­верить с помощью еще одного простого опыта. Представьте, что у нас есть резервуар с водой и выходной трубой, которая выбрасывает струю воды вверх (фиг. 40.10).

Фиг. 40.10. Доказательство того что v не равно Ц2gh,

Если бы скорость истечения была в точности равна Ц2gh, то выходящая вода должна была бы подняться вплоть до уровня воды в резервуаре. Однако на опыте она начинает падать несколько ниже его. Наше приближение оказывается очень грубым; вязкое трение, которое мы не учли в нашей формуле для сохранения энергии, приводит к потере энергии. Пытались ли вы когда-нибудь, дунув между двумя слип­шимися листками бумаги, оторвать их друг от друга? Попытай­тесь! Они сойдутся вновь. Причина, разумеется, состоит в том, что воздух между листами имеет большую скорость, нежели когда он выходит наружу. Поэтому давление

между листами ниже атмосферного, и они вместо того, чтобы разлететься в раз­ные стороны, соединятся.

§ 4. Циркуляция

В начале предыдущего параграфа мы видели, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удов­летворяет следующим двум уравнениям:

С·v=0, СXv=0. (40.19)

Эти уравнения аналогичны уравнениям электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. При отсутствии зарядов дивергенция электрического поля равна нулю, а ротор электро­статического поля всегда равен нулю. Ротор магнитного поля равен нулю при отсутствии токов, а дивергенция магнитного поля всегда равна нулю. Следовательно, уравнения (40.19) имеют такие же решения, как и уравнения для Е в электро­статике или уравнения для В в магнитостатике. Фактически в гл. 12, § 5 (вып. 5), мы уже решили задачу об обтекании сферы потоком в качестве электростатического аналога. Электростатическим аналогом является однородное электриче­ское поле плюс поле диполя, причем поле диполя подбирается таким, чтобы скорость потока, нормальная к поверхности сферы, была равна нулю. Задачу об обтекании цилиндра можно решить таким же способом, выбрав подходящее направление диполя относительно однородного потока. Эти решения спра­ведливы в тех случаях, когда скорость жидкости на больших расстояниях постоянна как по величине, так и по направлению. Они изображены на фиг. 40.11,а.

Фиг. 40.11. Обтекание цилиндра идеальной жидкостью (а), циркуля­ция вокруг цилиндра (б) и cyпepрозuция случаев а и б (в).

Задача об обтекании цилиндра имеет и другое решение, когда условия таковы, что поток на больших расстояниях движется по окружности вокруг цилиндра. Тогда поток будет круговым повсюду (фиг. 40.11,6). У такого потока есть цирку­ляция вокруг цилиндра, хотя СXv в жидкости остается нулем. Но как циркуляция может существовать без ротора?

У нас есть циркуляция вокруг цилиндра, ибо криволинейный интеграл от v по замкнутой пет­ле, охватывающей цилиндр, не равен нулю. В то же время криволинейный интеграл от v по любому замкнутому пути, который не охватывает цилинд­ра, будет нулем. Аналогичные вещи встречались нам и рань­ше, когда мы определяли маг­нитное поле вокруг проводника. Ротор В был нулем вне провода, хотя криволинейный интеграл от В по пути, охватывающему провод, не исчезает. Поле скоростей в безвихревой циркуля­ции вокруг цилиндра в точности такое же, как и магнитное поле вокруг провода. Для кругового пути с центром, совпадаю­щим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорос­ти равен

Для безвихревого потока интеграл не должен зависеть от r. Обозначим его через постоянную С и получим

где v — тангенциальная скорость, а r — расстояние от оси. Существует очень хороший способ демонстрации циркуля­ции жидкости в трубе. Вы берете прозрачный цилиндрический резервуар с трубкой в центре дна. Наполняете его водой, немного раскручиваете ее палочкой и вынимаете пробку из отводной трубы. И получаете тот красивый эффект, который показан на фиг. 40.12.

Фиг. 40.12. Вода с циркуляцией вытекает из резервуара.

(Подобное явление вы наверняка много раз видели в ванне!) Хотя вначале вы и создали некоторую угловую скорость w, она из-за вязкости вскоре затухает и поток становится безвихревым. Однако ка­кая-то циркуляция вокруг трубки все же остается.

Из теории можно вычислить форму по­верхности воды в цилиндре. По мере того как частицы движутся внутрь, они набирают скорость. Согласно уравнению (40.20), тан­генциальная скорость увеличивается как 1/r — просто благодаря закону сохранения момента количества движения, как у фигуриста, при­жавшего руки к телу. Радиальная скорость тоже возрастает как 1/r. Если пренебречь тангенциальным движением, то полу­чится, что вода идет внутрь по радиусу к отверстию, а из урав­нения С·v=0 следует, что радиальная скорость пропорцио­нальна 1/r. Таким образом, полная скорость тоже возрастает как 1/г и вода идет по спирали Архимеда. Поверхность вода — воздух целиком находится под атмосферным давлением, так что, согласно уравнению (40.14), она должна обладать свойством

gz+¹/₂mv²=const.

Ио здесь v пропорционально 1/r, поэтому форма поверхности будет такой:

Обратите внимание на одну интересную особенность, кото­рая наблюдается в случае несжимаемого безвихревого потока (в общем случае ее нет): если у нас есть какое-то одно решение и какое-то второе решение, то сумма их тоже будет решением. Это справедливо потому, что уравнения (40.19) — линейные. Полный же набор гидродинамических уравнений, т. е. урав­нений (40.8) — (40.10), не линеен, а это уже совсем другое дело. Однако для безвихревого потока вокруг цилиндра мы можем сложить один поток (фиг. 40.11,а) и другой поток (фиг. 40.11,б) и получить новый вид потока (фиг. 40.11,в). Этот новый поток особенно интересен. Скорость потока на верхней стороне цилиндра оказывается больше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, то возникнет действующая на цилиндр вертикальная сила; она называется подъемной силой. Разумеется, если циркуляция отсутствует, то в соответствии с нашей теорией «сухой» воды для любого тела суммарная сила обращается в нуль.

§ 5. Вихревые линии

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего пред­ставьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вих­ревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора W, а плотность их в любой области пропорциональна величине W. Из уравнения (II) дивергенция W всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7 (вып. 5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, на­пример окрасив их чернилами, то в процессе движения жидко­сти и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить W. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением W можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по дан­ным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все после­дующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере ча­стично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто за­кон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым ли­ниям (фиг. 40.13,а).

Фиг. 40.13. Группа вихревых линий в момент t (а) и те же самые линии в более поздний момент t' (б).

Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости бу­дет находиться где-то в другом месте. Вообще го­воря, он будет иметь фор­му цилиндра с другим диа­метром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально умень­шению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение W на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танген­циальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции I на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности W. Момент же инерции цилиндра пропорционален mr². Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что