Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
, (
= плотность массы).
(16.4.5)
Если мы имеем столкновение между двумя частицами, давление S имеет простое выражение на языке средних скоростей (до и после) сталкивающихся частиц. Мы положим передачу импульса равной Q=p-p=-p+p (см. рис. 16.5). Запишем средние скорости
v
=
p+p
2m
,
v'
=
p+p
2m'
(16.4.6)
На языке этих комбинаций может быть легко показано после соответствующей симметризации, что
S
=
2(v'-t)
Q
.
(16.4.7)
С
Эта формула применяется здесь и для упругих, и для неупругих столкновений, которые могут оставлять одну или обе массы в возбуждённом состоянии.
16.5. Источники классических гравитационных волн
Теперь мы переходим к описанию классического гравитационного излучения. Так же, каик в квантово-механическом случае, мы найдём, что излучателем гравитационных волн также является давление. Исходная точка в нашем обсуждении есть дифференциальное уравнение
h
=
S
.
(16.5.1)
Это решение продолжается в точности также, как и в электродинамике, для решений векторных потенциалов, создаваемых произвольными токами. Если мы предполагаем гармоническое изменение от времени, такое как exp(-it) для всех величин, то векторный потенциал задаётся соотношением:
A
(1)
=
dV
j(2)·exp(ir)
4r
,
(16.5.2)
где индексы 1 и 2 относятся к различным пространственным положениям; (1) есть место, в котором мы вычисляем потенциалы A, (2) есть места, где находятся токи, и r - расстояние между этими точками. Один из наиболее простейших случаев излучения соответствует осциллирующему диполю такому, что токи ограничиваются небольшой областью пространства. Довольно непосредственными выкладками проводим вычисления пространственных компонент Ax, Ay, Az ; временной компонент или скалярный потенциал наиболее легко получается из дивергентного условия на A
A
,
=
0
– >
iA
t
=
·A
.
(16.5.3)
Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в гравитации. Временные части полей h наиболее легко получаются из дивергентных условий после вычислений пространственных частей по следующему правилу:
h
(1)
=-
4
dV
S
(2)
exp(ir)
r
.
(16.5.4)
Рис. 16.7.
Для того, чтобы вычислить такие величины, как мощность излучаемых гравитационных волн, мы рассмотрим точку (1), расположенную достаточно далеко от системы, на некотором расстоянии, которое много больше, чем размеры области, где, как ожидается, величина S(2) является достаточно большой, как это показано на рис. 16.7. Мы можем разложить расстояние r, как степенные ряды от радиальных расстояний точек (1) и (2) от некоторого начала координат вблизи точки (2), и мы находим, что
r
=
r
2
1
+
r
2
2
–
2rr
cos
1/2
=
r
1
–
2r
r
cos
+…
1/2
r
–
r
cos
+… ,
(16.5.5)
когда r<
h
(1)
=-
4r
exp(ir)
d^3r
S
(2)
exp(-iK·r)
.
(16.5.6)
Интеграл, появляющийся в соотношении (16.5.6), теперь не зависит от точки (1), мы видим, что тензор давления S(2) является источником сферических волн.
В случае электромагнетизма наипростейшие случаи излучения часто соответствуют дипольному приближению, которое представляет собой первый ненулевой член в последовательности интегралов, соответствующих разложению экспоненты. Поскольку источник гравитационных волн является тензором вместо того, чтобы быть вектором (как в случае электромагнетизма), первый ненулевой член в гравитации имеет квадрупольный характер. Использование этого разложения оказывается оправданным, если частоты такие, что K·r много меньше, чем 1, в области, где величина S оказывается значимой. Для всех вращающихся масс таких, как двойные звёзды или системы типа звезда - планета, периоды движения (скажем, ~ 1 год для системы Земля - Солнце) много больше, чем время, которое требуется гравитации для того, чтобы пройти расстояние порядка размера системы (~ 16 минут для системы Земля - Солнце), так что члены разложения очень быстро становятся всё меньше и меньше. Таким образом, почти во всех случаях, представляющих астрономический интерес, длины волн много больше, чем размеры объекта. Результат состоит в том, что поля h пропорциональны интегралам поперечных давлений (полное поперечное давление)
h
ab
=-
exp(ir)
4R
S
ab
, где
S
ab
=
S
ab
(r)
.
(16.5.7)
Значения давления в направлении вдоль волнового вектора не относятся к делу. Любое качественное правило, которое полезно в электромагнетизме, целиком переносится в гравитацию.
Какова мощность, испускаемая такой волной? Существует огромное количество специалистов, которые в силу многолетнего предрассудка, что гравитация является чем-то таинственным и отличным от всего остального, напрасно обеспокоены этим вопросом; они считают, что гравитационные волны не переносят энергии совсем. Мы можем определённо показать, что гравитационные волны могут на самом деле нагреть стенку, так что нет вопроса об энергосодержании в гравитационных волнах. Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в электромагнетизме, и в квантовой интерпретации каждый испускаемый гравитон уносит величину энергии h.