Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т.е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде
a
=
V^2
R
,
(2)
где V - скорость точки обода в её верхнем положении, а R - искомый радиус кривизны циклоиды.
Для нахождения V будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения
R
=
4v
.
(4)
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения O оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода A движется в этот момент по окружности, радиус которой даётся формулой (3).
4. Падающий мяч.
Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии l от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии h от кольца?
Рис. 4.1. Падающий мяч
В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т.е. его направление (угол ) и модуль (v). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчёта, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время t от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 4.2). В результате приходим к системе уравнений
h
=
gt^2
2
,
H
–
h
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
,
l^2-H^2
=
v
cos ·t
.
(1)
Здесь H - высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а l^2-H^2 представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей
В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины: v, , t и H. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя h из первого уравнения во второе, получаем
H
=
v
sin ·t
.
(2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg :
tg
=
H
l^2-H^2
.
(3)
Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол , под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости v показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти,
v
=
l
t
=
l
2h/g
.
(9)
Рис. 4.3. Истинное направление вектора v начальной скорости
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно падающую с ускорением g в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью v. Очевидно, что эта скорость v должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время t=l/v мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
h
=
gt^2
2
=
g
2
l
v
^2
,
(5)
откуда для v получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчёта.
5. В цель с наименьшей начальной скоростью.
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте h и на расстоянии s по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).
Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.1б), в том числе и в предельном случае h=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня, неверно.
Ошибочность этого предположения становится ещё более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как h->0.
Приведённый анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.
Из приведённого качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Ещё раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали s и по вертикали h могут быть записаны следующим образом:
s
=
v
cos ·t
,
h
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
Поскольку время полёта камня t нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения и подставляя во второе, получаем