Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Павлов Андрей Николаевич

86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)

87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)

88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)

89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)

90. Круг радиуса

разделен

на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите площадь меньшего из этих сегментов. (2)

91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)

§ 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач

Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования (треугольник, трапеция, круг и т. д.), а по ведущей идее решения.

2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность

Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.

Примеры решения задач

92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)

Рис. 168.

Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.

(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;

r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;

2r2+ 34r – 120 = 0;

r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.

Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.

Ответ: 8 см; 15 см.

93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)

Рис. 169.

Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ,

ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона

Ответ: 13; 14; 15.

Задачи для самостоятельного решения

94. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. (1)

95. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции. (2)

96. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. (3)

2.2. Задачи на свойства параллельных прямых

В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются равные углы (рис. 170).

Рис. 170.

Квартеты равных углов:?1 = ?4 = ?6 = ?8; ?2 = ?3 = ?5 = ?7.

Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.

Примеры решения задач

97. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите длину BF, если сторона АВ = 11 (рас. 171). (1)

Рис. 171.

Решение. Из рисунка видно, что ?BFA = ?FAD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых), но ?BAF = ?FAD по условию, и поэтому ?BFA = ?BAF. Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.

Ответ: 11.

98. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172). (3)

Рис. 172.

Решение. Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через ? величину угла ВАМ; тогда величина угла АМВ равна ?, т. к. ВС||AD и AM – секущая. Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ?ВМА = ?MAD и ?MBN = ?BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем: