Истина и красота. Всемирная история симметрии.
Шрифт:
Я уже упоминал о двух типах математических обозначений, которые оба видны в таких выражениях, как x 3для куба неизвестного. Обозначение первого типа состоит в использовании букв (в нашем случае — x) для чисел — или неизвестных, или известных, но произвольных. Обозначение второго типа — это использование приподнятых над строкой чисел для указания степени, так что верхняя 3 в данном случае обозначает куб числа x, то есть xxxxx.Теперь мы подошли к обозначениям третьего типа — последним из тех, что нам понадобятся.
Обозначение третьего типа очень милое и выглядит так: . Этот символ означает квадратный корень. Например, 9 — квадратный корень из девяти — обозначает число, которое, будучи умножено на само себя, дает 9. Поскольку 3x3 = 9,
1,4142135623730950488…,
но не может на этом прекратиться, поскольку квадрат приведенного числа на самом деле равен
1,99999999999999999999522356663907438144,
что, очевидно, есть не вполне то же самое, что 2.
На этот раз известно, откуда взялось такое обозначение. Это искаженная буква «r», обозначающая «radix» — латинское слово «корень». Математики понимают его таким образом и читают выражение 2 как «корень из двух».
Кубические корни, корни четвертой, пятой и так далее степеней обозначаются помещением маленького приподнятого числа перед знаком «корень» — таким образом: 3, 4, 5.
Кубический корень из данного числа — это такое число, куб которого дает исходное, и аналогично для других корней. Таким образом, кубический корень из 8 есть 2, поскольку 2 3 = 8. Кубический же корень из 2 можно выразить в виде десятичной дроби только приближенно. Он начинается таким образом:
1,2599210498948731648…
и продолжается, если вы запасетесь достаточным терпением, бесконечно.
Именно это число появляется в античной задаче об удвоении куба.
Примерно к 400 г. греческая математика утратила свое место на переднем крае этой науки.
Место действия переместилось на Восток — в Аравию, Индию и Китай. Европа погрузилась в «темные века», и хотя они были не такими уж темными, какими их нередко изображают, но все же темными в достаточной мере. Распространение христианства возымело тот плачевный побочный эффект, что знание и ученость сконцентрировались в церквях и монастырях. Многие монахи переписывали работы великих математиков, таких как Эвклид, но лишь очень немногие из них понимали, чтоони переписывают. Древние греки были в состоянии с двух сторон прорыть туннель через гору так, чтобы обеспечить встречу посередине; способ же, которым ранние англосаксы проводили землемерные работы, состоял в том, чтобы разложить в поле план в масштабе 1:1. Даже понятие изображения, сделанного в определенном масштабе, было утеряно. Если бы англосаксы пожелали создать точное изображение Англии, им пришлось бы сделать его размером с Англию. Их карты обычного размера были крайне неточными.
К концу пятнадцатого столетия фокус математической активности снова сдвинулся в сторону Европы. На Среднем и Дальнем Востоке подошел к концу заряд креативности, а Европа включила второе дыхание, освобождаясь от объятий Римской церкви и ее страха перед всем новым. По иронии судьбы новым центром интеллектуальной активности становится Италия — по мере того как Рим ослаблял хватку в своем собственном тылу.
Это тектоническое изменение в европейской науке и математике началось с публикации в 1202 году книги под названием Liber Abbaci, написанной Леонардо Пизанским, который много позднее получил прозвище Фибоначчи, сына Боначчио, под которым теперь и известен, несмотря на то что имя это придумали в девятнадцатом столетии. Отец Леонардо — Гильельмо — служил на таможне в Буджии (ныне в Алжире) и в своей работе неминуемо сталкивался с людьми самых разных культур. Он обучил своего сына новомодным знакам для чисел, изобретенным индусами и арабами, — предшественникам наших десятичных обозначений от 0 до 9. Леонардо позднее писал, что «мне так нравилось обучение, что я продолжал изучать математику во время поездок по работе в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс и получал особое удовольствие от дебатов с учеными из тех мест». На первый взгляд заглавие книги Леонардо говорит о том, что это книга — об абаке, т.е. механическом вычислительном приспособлении, состоящем из бусинок, скользящих по проволочкам, или же из галечных камешков, передвигаемых в песчаном желобе. Но как латинское слово calculus, относящееся к этой гальке,
15
По-английски «calculus» означает «исчисление», наиболее часто — в значении «дифференциальное и интегральное исчисление». По-русски этот же предмет называется математическим анализом или, когда контекст ясен, просто анализом (откуда производится и прилагательное «аналитический»). (Примеч. перев.)
Одна задача — об идеализированной модели роста популяции кроликов — привела к замечательной числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее, где каждое следующее число, начиная с 2, равно сумме двух предыдущих. Эта «последовательность Фибоначчи» более всего прославила Леонардо — не применительно к размножению кроликов, где следствия из нее нулевые, а за то, что она представляет собой замечательный пример математической закономерности и играет ключевую роль в теории иррациональных чисел. Леонардо и представить себе не мог, что этот маленький jeu d'esprit [16] затмит в глазах потомков все остальное, что он сделал в своей жизни.
16
Игра ума. (Примеч. перев.)
Леонардо написал еще несколько книг, и его Practica Qeometriae, появившаяся в 1220 году, содержала значительную часть «Начал» Эвклида, а также кое-что из греческой тригонометрии.
В Книге X «Начал» Эвклида обсуждаются иррациональные числа, построенные как вложенные друг в друга квадратные корни, типа
В 1494 году Лука Пачоли свел вместе значительную часть существовавшего тогда математического знания в книге по арифметике, геометрии и пропорции. Она также включала индо-арабские числа, коммерческую арифметику, выжимки из Эвклида и тригонометрию Птолемея. Сквозной темой был элемент замысла в природе, воплощенный в пропорциях — пропорциях человеческого тела, перспективы в живописи, теории цвета.
Пачоли продолжил традицию «риторической» алгебры, используя слова, а не символы. Неизвестное было «штукой» — итальянское слово cosa,и в течение определенного периода практикующие алгебраисты были известны под именем cossist'ов. Он также использовал ряд стандартных сокращений, продолжая (но не сумев улучшить) подход, впервые намеченный Диофантом. Моррис Клайн в своем монументальном «Математическом мышлении от Античности до современности» констатирует: «Серьезное замечание по поводу математического развития арифметики и алгебры между 1200 и 1500 годами состоит в том, что книга Пачоли едва ли содержит что-либо, выходящее за рамки Liber AbbaciЛеонардо Пизанского. В действительности арифметика и алгебра… основывались на книге Леонардо». В конце своей книги Пачоли замечает, что относительно решения кубического уравнения понимания ничуть не больше, чем относительно квадратуры круга. Но такому положению дел скоро предстояло измениться.
Первое по-настоящему существенное продвижение произошло в городе Болонья примерно в конце первой трети шестнадцатого столетия. Внимания на это событие поначалу не обратили.
Джироламо Кардано был побочным сыном миланского юриста Фацио Кардано и молодой вдовы по имени Кьяра Микериа, у которой было еще трое детей от первого брака. Он родился в 1501 году в Павии — городе, входившем в герцогство Миланское. Когда к Милану подобралась чума, беременную Кьяру убедили уехать в деревню, где и родился Джироламо. Все трое ее старших детей, оставшиеся в городе, умерли от чумы.