Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
Шрифт:

Эта книга начинается с фразы: «Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками». Однако наука ставит перед нами столько задач, что в математическом анализе, пришедшем на смену анализу бесконечно малых, непрерывно требуется разрабатывать новые техники и приемы их решения.

Приложение.

Эйлер и бесконечно малые

Чтобы показать, как используются бесконечно большие и малые величины, приведем пример разложения функции ez в степенной ряд. Этот пример продемонстрирован Эйлером в книге «Введение в анализ бесконечно

малых». Сначала Эйлер определяет число е следующим образом. Показательные функции аz, а > 1, описывают множество кривых, которые имеют общую точку (0, 1). Угол наклона касательной к этим кривым в этой точке зависит, разумеется, от основания степени а и бесконечно возрастает от 0, соответствующего а = 1. Число е определяется как число, для которого тангенс угла наклона касательной ez в точке (0,1) равен 1. Иными словами, касательная к кривой е2 в точке (0, 1) описывается уравнением 1 + z. Так как Эйлер понимал кривые как многоугольники со сторонами, имеющими бесконечно малую длину, это означает, что бесконечно малый отрезок кривой у = ez, находящийся в точке с координатами (0,1), что соответствует е0 = 1, совпадает с прямой у = 1 + z. Для бесконечно малых чисел w получим, что они находятся одновременно на прямой и на кривой, которые совпадают на этом бесконечно малом участке. Таким образом, для бесконечно малого w выполняется равенство ew = 1 + w. Для Эйлера это было не приближенное, а строгое равенство.

С учетом этого будем записывать данное число z в виде произведения бесконечно малого числа w на бесконечно большое число N:z = wN. Допустим, что z = 2, и запишем его в следующем виде

Таким образом,

и N = 2 • 101000000. Однако этого недостаточно: это значение w очень мало, но не является бесконечно малым, равно как и N не является бесконечно большим.

Тем не менее читатель легко представит разницу между очень малым и очень большим и между бесконечно малым и бесконечно большим. С учетом свойств показательной функции можно записать: ez = ewN — (ew)N. Так как w является бесконечно малым, то, учитывая равенства, изложенные в нашей дискуссии о касательных, получим: еz = (1 + w)N. Так как w = z/N, это означает:

где N — бесконечно большое число. Запишем это равенство в следующем виде:

Применим теорему о биноме:

Так как N — бесконечно большое, получим, что N — 1 = N, N — 2 = N и так далее, что позволяет преобразовать равенство:

Заметим, что в методе Эйлера для разложения показательной функции в ряд бесконечно большие и бесконечно малые числа появляются и исчезают, подобно предметам в руках у фокусника. Тем не менее они используются не напрасно: они помогают преобразовать функцию и выявить ее важные скрытые свойства.

Этот метод Эйлера по разложению в ряд кажется недостаточно строгим, но здесь не идет речь о логической строгости рассуждений Эйлера. К тому же следует отметить, что на самом деле они всего лишь подразумевают использование более сложной логики, чем та, что лежит в основе стандартного анализа.

В некотором смысле эти выкладки Эйлера демонстрируют его гениальность. Как мы уже говорили в главе 6, Хобсон так отзывался о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот».

Библиография

AlTON, E.J., Leibniz. Una biografia, Madrid, Alianza Editorial, 1992.

BARON, M.E., The Origins of the Infinitesimal Calculus, Oxford, Pergamon, 1969.

DURAN, A.J., Historia, con personajes, de los conceptos del cdlculo, Madrid, Alianza

Editorial, 1996.

DURAN, A.J., (coordinador), El legado de las matemdticas, Sevilla, Real Sociedad

Matematica Espanola у otros, 2000.

DURAN, A.J., La polemica sobre la invencion del cdlculo infinitesimal, Barcelona, Critica, 2006.

DURAN, A.J., Pasiones, piojos, dioses… у matemdticas, Barcelona, Destino, 2009.

DURAN, A.J., Cauchy, hijo rebelde de la revolution, Madrid, Nivola, 2009.

EULER, L., Introductio in analysin infinitorum, edicion facsimilar у critica con traduction al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2000.

EDWARDS, C.H,, The Historical Development of the Calculus, Nueva ^fork, Springer-Verlag, 1979.

HALL, A.R., Philosophers at War, Cambridge, Cambridge University Press, 1980.

HOFMANN, J.E., Leibniz in Paris, 1672-1676. His Growth to Mathematical Maturity, Cambridge, Cambridge University Press, 1974.

MANUEL, F.E., A Portrait of Isaac Newton, Harvard University Press, Cambridge

(Mass.), 1968.

NEWTON, L, The Mathematical Papers of Isaac Newton, edicion de D.T. Whiteside,

Cambridge, Cambridge University Press, 1967-1981.

NEWTON, I., Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias, edicion facsimilar у critica con traduccion al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2003.

WESTFALL, R.S., Never at Rest; a Biography of Isaac Newton, Cambridge, Cambridge University Press, 1983.

Поделиться:
Популярные книги

Камень Книга седьмая

Минин Станислав
7. Камень
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
6.22
рейтинг книги
Камень Книга седьмая

Барон диктует правила

Ренгач Евгений
4. Закон сильного
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Барон диктует правила

Ты не мой BOY

Рам Янка
5. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Ты не мой BOY

Дворянская кровь

Седой Василий
1. Дворянская кровь
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.00
рейтинг книги
Дворянская кровь

Неверный

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
5.50
рейтинг книги
Неверный

Не грози Дубровскому! Том V

Панарин Антон
5. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том V

Сердце Дракона. Том 19. Часть 1

Клеванский Кирилл Сергеевич
19. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
7.52
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 19. Часть 1

Мама для дракончика или Жена к вылуплению

Максонова Мария
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Мама для дракончика или Жена к вылуплению

Ваше Сиятельство 3

Моури Эрли
3. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 3

Снегурка для опера Морозова

Бигси Анна
4. Опасная работа
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Снегурка для опера Морозова

Архил...?

Кожевников Павел
1. Архил...?
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Архил...?

Идеальный мир для Социопата 2

Сапфир Олег
2. Социопат
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
6.11
рейтинг книги
Идеальный мир для Социопата 2

Внешняя Зона

Жгулёв Пётр Николаевич
8. Real-Rpg
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Внешняя Зона

Идеальный мир для Лекаря 16

Сапфир Олег
16. Лекарь
Фантастика:
боевая фантастика
юмористическая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 16