Избранные научные труды
Шрифт:
''
n
(x)
+
1
x
J
'
n
(x)
+
1-
n^2
x^2
J
n
(x)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
1
=
B
nb
1
d
r
J
n
(idr)
– C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
.
(20)
Подставляя
=
– A
1
c
J
'
n
(ibr)
+B
b
d
J
'
n
(idr)
+C
1
r
J
n
(idr)
e
in+ibz
,
=
– A
n
1
bc
r
J
n
(ibr)
+B
bn
1
d^2
r
J
n
(idr)
+C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
,
w=c+=c+
– A
1
e
J
n
(ibr)
+B
J
n
(idr)
e
in+ibz
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
r-a==D
e
in+ibz
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
D
Dt
(r-a-)
=
r
+
r
+w
z
(r-a-)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
a-c
z
=0,
=-
i
cb
.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через R1 и R2, получаем, далее, аналогичным образом
1
R1
+
1
R2
=
1
a
–
a^2
–
1
^2
a^2
^2
–
^2
z
=
1
a
–
i(n^2-1+b^2a^2)
a^2cb
.
(23)
Пусть Pr, P и Pz —
P
r
=
p
x,x
=
– p
+2
u
x
,
P
=
p
x,y
=
v
x
+
u
y
,
P
z
=
p
x,z
=
w
x
+
u
z
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая =0, получаем
P
r
=
– p
+2
r
,
P
=
r
+
1
r
–
r
,
P
z
=
z
+
w
r
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения T; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
T
1
R1
+
1
R2
+
P
r
=const,
P
=0,
P
z
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
– T
i(m^2-1+a^2b^2)
a^2cb
– p+2
r
r=a
=0,
(26)
1
r
+
r
–
r
r=a
=0,
z
+
w
r
r=a
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения p, , и w, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая B/A и C/A, получаем уравнения для определения b. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.