Избранные труды

Щедровицкий Георгий Петрович

Конец страницы 158

Начало страницы 159

обладающий свойством В; потом этот же объект анализируется посредством другой процедуры ₂ и выступает как обладающий свойством не-В. При проверке обнаруживается, что процедуры выполнены правильно, что они обе в равной мере могут быть применены к этому объекту и при данном уровне развития науки не удается выявить того свойства в объекте, которое обусловливает столь странные результаты исследования. Таким образом, оба знания «А есть В» и «А есть не-В», полученные соответственно с помощью процедур ₁, и ₂, оказываются одинаково обоснованными и «правильными», и это создает особую ситуацию «разрыва» в развитии науки.

Уже в древнегреческий период была зафиксирована масса подобных ситуаций (они

назывались «апориями») в самых различных науках — в математике, физике, философии.

Например, записывался натуральный ряд чисел, в нем выделялись числа — «полные квадраты»; они сопоставлялись со всем рядом:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
1	4	9	16	...

Совершенно очевидно, что при таком способе сопоставления чем дальше мы будем двигаться по ряду, тем меньшим будет «вес» полных квадратов по сравнению со всеми другими числами. Из этого делали вывод, что число полных квадратов в ряду натуральных чисел меньше, чем число всех чисел. Но затем предлагался другой способ сопоставления: каждому числу натурального ряда ставился в соответствие его квадрат

1	2	3	4	5	6	7	8
1	4	9	16	25	36	49	64

Было очевидно, что сколько бы мы ни двигались так по ряду, мы всегда сможем это сделать. Из этого делали вывод, что число полных квадратов в бесконечном ряду чисел не меньше числа всех чисел.

Таким образом, применяя два различных способа рассуждения — и заметим: правильных с точки зрения существовавших тогда понятий, — мы приходим к двум различным, взаимно исключающим друг друга утверждениям.

Могут попробовать возразить, что эти утверждения не были правильными, так как к бесконечным множествам, с точки зрения современной математики, не могут применяться понятия «больше», «меньше», «равно», а должны применяться понятия «мощности» и связанные с ними процедуры сопоставления². Это правильно. Но мы знаем это сегодня, а

_____________________________________

² Понятие «мощности» множества было введено знаменитым немецким математиком Г.Кантором [Кантор, 1914].

Конец страницы 159

Начало страницы 160

когда этот вопрос встал и когда его обсуждали, начиная, по-видимому, с Демокрита и вплоть до работ Г.Кантора, понятия мощности множества не существовало и приходилось пользоваться теми понятиями, которые были. Кроме того, даже и с этой модернизированной точки зрения нужно признать, что оба утверждения по поводу числа полных квадратов в ряду натуральных чисел находятся в совершенно равных условиях — оба являются одинаково ложными или одинаково истинными. Только это важно в контексте данного рассуждения: возникала ситуация, в которой два знания исключали друг друга и оба были одинаково правильными, и из этой ситуации нужно было выходить, создавая новые средства науки.

Чтобы снять возможное впечатление, будто парадоксальная ситуация возникает из-за оперирования «трудным» и немного мистическим понятием бесконечности, разберем еще пример физического парадокса, выявленного Г.Галилеем примерно через две тысячи лет после появления разобранного выше математического парадокса.

Различие между равномерными и переменными движениями стало известно людям уже давно. Но это было лишь наглядное, чувственное знание, не осмысленное в понятиях. Существовавший во времена Аристотеля чувственно-непосредственный способ сопоставления движений, когда время фиксировалось как равное, а сравнивались одни лишь отрезки пройденного телами пути, не позволял выявить различие между равномерными и переменными движениями в виде понятия.

И хотя в представлении древних понятие скорости было результатом и средством сопоставления движений вообще, независимо от их характера, по содержанию и по своему строению оно служило адекватным отражением только равномерных движений. Поэтому когда Галилей приступил к исследованию ускоренных движений, используя для этого понятие скорости, выраженное в формуле v = s/t, то это привело его к логическому противоречию (антиномии). Так как часы, находившиеся в его распоряжении, несмотря на все произведенные усовершенствования, были все еще малопригодны для измерения небольших промежутков времени, Галилей решил замедлить исследуемые движения падения с помощью наклонных плоскостей, а это в свою очередь заставило его сопоставить между собой падение тел по вертикали и по наклонным. Согласно определениям Аристотеля, из двух движущихся тел то имеет большую скорость, которое проходит за одно и то же время большее пространство, чем другое, или то же пространство, но за меньшее время. Соответственно считалось, что два движущихся тела обладают одинаковой скоростью, если они проходят равные пространства в равные промежутки времени.

Галилея эти определения уже не удовлетворяли. Выработанный им способ измерения времени позволил представить понятие скорости в виде математического отношения величин пути и времени. С этой новой

Конец страницы 160

Начало страницы 161

точки зрения ничего не изменится, если назвать скорости равными и тогда, «когда пройденные пространства находятся в таком же отношении, как и времена, в течение которых они пройдены...» [Галилей, 1948, с. 34]. Поскольку Галилей уже «подвел» понятие скорости под более широкое понятие математического отношения, сделанный им переход был вполне законен. Равенство отношений s₁/t₁ = s₂/t₂ как при s₁ = s₂ так и при s₁ s₂ остается справедливым, если t₁ и t₂ меняются в той же пропорции, что и пути.

Итак, имеются два определения равенства скоростей двух движущихся тел.

Первое: скорости двух тел равны, если за равные промежутки времени эти тела проходят равные пространства.

Второе: скорости двух тел равны, если пространства, проходимые одним и другим, пропорциональны временам прохождения.

Второе определение является обобщением первого. Имея эти два определения, Галилей приступил к сопоставлению конкретных случаев падения тел. Пусть по СВ и СА (см. схему 1) падают два одинаковых тела. Скорость тела, падающего по СВ, будет больше скорости тела, падающего по СА, ибо, как показывает опыт, в течение того времени, за которое первое падающее тело пройдет весь отрезок СВ, второе пройдет по наклонной СА часть CD, которая будет меньше СВ. Отсюда в соответствии с первым определением можно сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, не равны.

В то же время известное Галилею положение о том, что скорость падающих тел в какой-либо точке зависит только от высоты их падения, наводят его на мысль, что раз скорости тел в точках А и В, расположенных на одной горизонтали, равны, то они должны быть и вообще равны на отрезках СА и СВ. Он проверяет это предположение на опыте, и действительно оказывается, что отношение времен падения по всей наклонной и по всей вертикали равно отношению длин наклонной и вертикали. Отсюда в соответствии со вторым определением можно сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, равны.