Катастрофы в природе и обществе

Хлебопрос Р. Г.

Будем нумеровать участки индексом i, а общее число участков, пригодных для посева пшеницы, обозначим через n. Пусть производительность i-го участка составляет P_i килограммов в год (причем, разумеется, числа P_i могут быть различны, поскольку различны площади и природные условия участков); тогда общее производство пшеницы, при условии, что обрабатываются все участки, было бы равно

Р = Р₁ + Р₂ +...+ Р_n

килограммов. Предположим, что племя насчитывает N человек, и что среднее потребление пшеницы на человека составляет Р₀ килограммов в год. Тогда годовая потребность в пшенице равна

Р = NР₀

килограммов. Мы рассмотрим лишь случай, когда Р > Р, то есть когда можно, во всяком случае, обеспечить пшеницей все племя, обрабатывая все участки. Если племя не

заинтересовано в излишнем продукте (как это наблюдается у индейцев пуэбло), то обрабатываются не все участки, а лишь самые выгодные из них. Стоящая перед племенем задача оптимизации состоит в выборе этих участков.

Обработка каждого участка требует определенных трудовых затрат, которые, как и производительность, различны для разных участков. Конечно, эти затраты измеряются не в деньгах, поскольку мы описываем общество без денег; но можно себе представить, что они складываются из затрат на приобретение орудий труда и на труд выращивания пшеницы. Поскольку денег еще нет, все эти затраты выражаются обычно в количестве выращиваемого продукта, качество которого мы будем считать одинаковым: в Японии до конца девятнадцатого века все налоги и повинности крестьян выплачивались рисом. Можно предположить, что вследствие однородности сельскохозяйственной работы и равноценности рабочей силы труд выращивания пшеницы измеряется числом килограммов пшеницы, за которое соплеменник согласился бы выполнить этот труд. Пусть полные трудовые затраты на i-ом участке составляют S_i килограммов.

Подчеркнем еще раз, что качество зерна и рабочей силы здесь не учитываются; дальше мы займемся этим очень важным вопросом, не принятым во внимание в "теориях стоимости" Д. Рикардо и К. Маркса.

Изобразим теперь все n участков и их свойства на следующей двумерной диаграмме.

Введем на плоскости координаты S, Р (рис.1) и сопоставим участку с производительностью Р_i и трудовыми затратами S_i точку с координатами (S_i,Р_i). Все такие точки i = 1,2,...,n заполняют на рисунке 1 некоторое "облако" точек, окруженное замкнутой кривой, и требуется выделить часть этого облака, дающую заданную общую продукцию зерна при наименьших общих трудовых затратах.

Предположим, что набор участков, решающий эту задачу, занумерован первыми m числами 1,2,...,m (m < n). Тогда, по условию, должны удовлетворяться все потребности в зерне, то есть должно быть

Р₁ + Р₁ + ... + Р_m = Р,

и при этом условии сумма трудовых затрат

S₁ + S₂ + ... + S_m = S

должна быть минимальной.

Рис.1

Трудовые затраты на килограмм зерна составляют для i-го участка S_i/P_i, что геометрически означает наклон к оси P прямой O_i. Ясно, что прежде всего желательно использовать те участки i, для которых этот наклон возможно меньше. Сначала выберем участок с наименьшим наклоном, затем – со следующим по величине, и т.д. Прямую R, отсекающую отобранные участки, построим следующим образом. Можно себе представить, что вначале прямая R совпадает с осью ОР; вращая ее вокруг точки О, как часовую стрелку, мы остановим ее в таком положении, когда полная производительность участков выше нее и на ней самой достигнет требуемой величины Р. Закрепим прямую R в таком положении и будем называть точки i, указанные выше – то есть расположенные выше прямой R и на этой прямой – "областью А", а все остальные точки, расположенные ниже прямой R, – "областью В".

Как мы покажем, имеет смысл засевать лишь участки области А, которые оказываются наиболее выгодными для производства пшеницы. В самом деле, предположим, что один из участков области А, с номером i, не обработан, и покажем, что в этом случае можно предложить более выгодный способ использования имеющихся земельных ресурсов. Поскольку задана общая производительность Р, какую надо получить со всех обрабатываемых участков, а область А построена так, что все ее участки вместе дают именно эту продукцию, то выпадение участка i означает, что обработаны некоторые из участков остальной области В. Предположим, что участки j₁, j₂, ..., j_k области В обработаны и дают в сумме как раз недостающую производительность Р_i участка i. Покажем, что в таком случае выгоднее прекратить их обработку и вместо них обработать один участок i.

Пусть j означает любой из упомянутых участков области В. Тогда наклон прямой О_j по отношению к оси S меньше наклона прямой О_i (см. рис.1), поскольку первая из них ниже прямой R, а вторая – выше. Наклон измеряется отношением ординаты точки прямой к ее абсциссе, одним и тем же для всех точек прямой; поэтому для всех точек j рассматриваемого набора справедливо неравенство

Умножив обе части на S_iSj и выполнив сокращения, можно переписать это в виде

S_i Р_j < S_j Р_i.

Такие неравенства верны для всех значений j нашего набора, то есть для j = j₁, j₂,..., j_k. Сложив их, получаем

или, что то же,

Но сумма в левой скобке, по самому выбору участков j, равна производительности Р_i участка i, который они заменяют, а сумма в правой скобке есть полная величина затрат на всех указанных участках j, которую мы обозначим через S. Итак, получаем S_i Р_i < S P_i, или, сокращая на P_i, S_i < S. Это значит, что замена набора участков j одним участком i, не меняя общей производительности Р ,приводит к снижению затрат, так что такая замена выгодна.

В общем случае может оказаться, что не обработано несколько участков области А (а не один, как мы предполагали до сих пор), и вместо них обработан некоторый набор участков области В; можно доказать, что и в этом случае выгодно отказаться от обработки участков из В, заменив их участками из А. Мы не приводим математического доказательства, которое заинтересованный читатель может выполнить самостоятельно. Заметим только, что наименьшая сумма затрат достигается, когда обрабатываются все участки области А, и только они. Можно с уверенностью предположить, что так и произойдет в действительности, поскольку рассматриваемое племя после ряда попыток найдет наиболее выгодные участки и, не будучи заинтересовано в избыточном зерне, не станет обрабатывать остальные.

Таким образом, "двумерный" метод, изображаемый рисунком 1, уже позволил нам выяснить, какие из участков в действительности обрабатываются. Становится понятным, откуда взялись "пшеничные пояса", где выгодно выращивать пшеницу (особенно в Соединенных Штатах), "кукурузные пояса", и т.д. Конечно, точный математический расчет, описанный выше, с учетом всех нужных для него данных – производительности и трудовых затрат всех участков – не под силу никакому первобытному племени, и даже современному обществу. Он имеет теоретическое значение, так как позволяет понять, как мы увидим, целый ряд экономических явлений. Но племя эмпирически находит оптимальное решение, последовательно испытывая разные участки и обменивая их друг на друга, на чем было основано и приведенное выше доказательство (принадлежащее Рикардо). Мы еще не раз встретимся с этим свойством стихийных экономических процессов: они управляются мотивами "сиюминутной", непосредственной выгоды отдельных лиц, но в конечном счете их результаты совпадают с выводами точного математического анализа, решающего некоторую задачу оптимизации. Как мы сейчас покажем, диаграмма рисунка 1 применима без изменений к современным условиям частной собственности и денежного хозяйства.

Рассмотрим по-прежнему производство пшеницы, но в некоторой современной стране. Будем сначала считать, что на всех участках вырастает зерно одинакового качества. Участки i будут теперь обрабатываться не временно использующими их членами племени, а их постоянными собственниками. Производительность i-го участка по-прежнему измеряется в килограммах и обозначается Р_i (i = 1, 2,..., n). Что же касается трудовых затрат на i-ом участке, S_i, то в условиях денежного хозяйства их можно измерять деньгами, например, рублями: при однородной работе (хотя и разной продолжительности) на всех участках можно считать известной оплату за час рабочего времени, установившуюся в данном месте в данное время, и к оценке рабочего времени, нужного для обработки участка, прибавляется величина необходимых расходов на орудия и материалы. В сумме получается число S_i. Это число можно представить себе как сумму, которую должен был бы затратить воображаемый "посторонний" владелец участка, чтобы оплатить его обработку точно тем же способом, как это делает его хозяин. Она складывается из хозяйственных расходов (на орудия и материалы), которые мы обозначим через S_ia, и оплаты труда i-го хозяина S_ib, если нанять его как батрака за принятую почасовую оплату: