Катастрофы в природе и обществе

Хлебопрос Р. Г.

С другой стороны, не следует забывать об опасностях демократии. Победа немецких нацистов на выборах 1933 года остается страшным уроком тем, кто вместе с Руссо верит в непогрешимость всеобщего голосования. Способность пользоваться демократической системой правления – не исходная посылка демократии, а ее трудное достижение.

Модель конкуренции двух близких партий за голоса избирателей

Политическую жизнь часто обсуждают в рамках предположения, что различные партии выражают специфические интересы различных групп населения. Однако, такое предположение – не единственно возможное: можно проводить анализ и с других позиций.

Мы попытаемся предположить, в качестве модели политической жизни, что имеется только две партии, причем ни одна из них не имеет предпочтительной связи с какими-либо группами населения, но обе руководствуются только желанием выиграть выборы. Население же мы

будем считать неоднородным, характеризуя его свойства одним параметром x, так что группы населения выделяются интервалами (x, x + dx). Пусть число людей в такой группе равно P(x)dx. Если считать из населения только избирателей и принять, что соблюдается равное избирательное право, то это же означает число голосов, которым располагает группа.

Предположим, что единственный вопрос, служащий предметом политических разногласий, это распределение бюджетных ассигнований между группами населения. Пусть функция их распределения есть m(x), то есть по предлагаемому бюджету с такой функцией распределения группа (x, x + dx) должна получить m(x)dx рублей. Каждая из двух партий предлагает перед выборами свой бюджет, в чем и состоит ее политика: первая партия предлагает распределение m₁(x), вторая – m₂(x). Полная сумма, подлежащая распределению, считается фиксированной, и не предполагается никакой бюджетной экономии, так что в обоих предложенных бюджетах общая сумма расходов фиксирована – обозначим ее через M. Тогда имеем условия

Пусть теперь группа избирателей (x, x + dx) отдает на выборах первой партии долю голосов C₁(x), а вторая партия долю C₂(x). Ясно, что оба эти числа неотрицательны, и если принять (для упрощения рассуждений), что голосуют все избиратели, то C₁(х) + C₂(х) = 1.

В целом по стране первая партия наберет

голосов, а вторая партия

голосов.

Естественно предположить, что доли голосов C₁(х) и C₂(х) для всех групп населения определяются программами партий, так что они зависят от функций m₁(x), m₂(x) и, возможно, отдельно от х. Таким образом, мы имеем два функционала:

причем номер партии не входит в число параметров, влияющих на предпочтения избирателей: они расчетливы, но вне бюджетных вопросов "аполитичны".

Далее, примем еще одно упрощающее предположение: допустим, что голосование группы (х, х + dx) зависит только от размера ассигнований, предусмотренных для этой группы, но не от ассигнований для других. Это предположение "локальности" означает, конечно, равнодушие к интересам других, если они не отражаются немедленно на собственных интересах субъекта. Математически оно выражается в том, что функционалы C₁, C₂ выражаются через функцию трех переменных С в виде

По определению функционалов C₁, C₂, партии наберут, соответственно, следующее число голосов:

Задача первой партии состоит в достижении максимума функционала

при дополнительных условиях

Обозначая разность C(x,m₁(x),m₂(x)) - C (x, m₂(x), m₁(x)) через q (x, m₁(x), m₂(x)) , получаем уравнения Лагранжа

где

функция q(x, m₁, m₂) антисимметрична относительно двух последних аргументов.

В виду полной симметрии задачи относительно обеих партий, естественно считать, что ее решения для обеих совпадают, то есть

m₁(x) = m₂(x) = m(x)

тогда для определения получаем уравнение

Чтобы составить себе представление о свойствах решения, прибегнем к обычному в таких случаях моделированию: рассмотрим некоторое правдоподобное выражение функции С. Ясно, что если отношение m₁/m₂ стремится к нулю, то С тоже стремится к нулю, так как никто не будет голосовать за партию, которая ничего не обещает. Если же m₁/m₂ стремится к бесконечности, то С стремится к единице, потому что вторая партия оказывается в этом случае бесперспективной. Можно считать поэтому, что зависимость С от отношения m₁/m₂ имеет график вида, изображенного на рисунке 4.

Рис.4

Это наводит на мысль задать модельную функцию С(х, m₁, m₂) в виде

откуда имеем

и

Поскольку мы предположили, что для искомого решения m₁(x) = m₂(x), то есть отношение этих функций равно 1, то уравнение Лагранжа принимает вид

то есть партийная программа обеих партий будет иметь вид

m(x) = K x P(x) x a(x),

с коэффициентом пропорциональности K, определяемым бюджетными ограничениями.

Если реакции избирателей всех групп на предлагаемый бюджет одинаковы, то функция а(х) постоянна. В этом случае каждая группа получит ассигнования, пропорциональные ее численности. В более реалистическом случае группы реагируют различно, и множитель а(х) определяет "силу нажима" группы с характеристикой х, то есть ее избирательное влияние, определяющее вид основного функционала реакции.

Заметим еще, что при выбранном "модельном" виде этого функционала полученное решение, как можно показать, устойчиво, в том смысле, что передача некоторой суммы от группы (х, х + dx) группе (y, y + dy) изменяет значение N₁ – N₂ лишь на бесконечно малую высшего порядка и, следовательно, не приносит выгоды. Можно привести примеры функционалов, для которых дело обстоит иначе.

Заключение

Мы хотели бы привести в заключении нашей книги простейшую модель человеческой активности. При всей ее примитивности, она позволяет выделить два крайних типа человеческого поведения: зависимый, или служебный, и автономный, или творческий. Конечно, в чистом виде они не встречаются и представляют идеализацию реального поведения человека, в котором служебные и творческие мотивы образуют сложную смесь с различным отношением составляющих. Имея в виду реальности нашего времени, мы принимаем в этой книге упрощенную концепцию человека: это человек Адама Смита, «честно соблюдающий правила игры», но преследующий только собственную выгоду, причем эта выгода всегда допускает денежное выражение. Таким образом, это человек, управляемый единственным числовым параметром, или, если угодно, «одномерный человек». Мир, населенный такими людьми, был бы невыносимо скучен и, как можно предвидеть, постепенно приходил бы в упадок. Он не продержался бы долго, потому что у индивида, соблюдающего «правила игры», должны быть и другие мотивы, кроме личной выгоды – как это хорошо понимал еще Адам Смит, автор трактата по философии нравственности. Если у человека нет других мотивов, то он перестанет соблюдать эти правила, пытаясь их обойти, что можно уже наблюдать в наше время.