Математика, Философия и Йога
Шрифт:
Вчера вечером я изложил вам две теории о природе математики. Одну называют логицизмом, а другую формализмом; первая связана с именем Рассела, вторая-со школой Гильберта. Существует и третья, современная теория, которую называют математическим интуиционизмом (хотя не очень ясно, почему она получила именно такое название). Это направление было развито, в первую очередь, Брауэром и Вейлем [4], которые заложили важнейшие основы современной математической мысли. Они сомневаются даже в допустимости приложения метода исключения к рассуждениям о бесконечности, хотя большая часть теории бесконечных множеств опиралась на определенные принципы, часто используемые в обычной математике [5]. Иногда случается так, что вы не можете непосредственно доказать некий факт, но при этом знаете, что существует ограниченное количество возможных вариантов -например, только два. Скажем, любое число может быть либо простым, либо не простым. Если не получается непосредственно доказать, что выбранное число является простым, то это можно сделать методом от противного, то есть показать, что оно не является не простым. Брауэр и Вейль считают, что этот принцип,
Я не вполне уверен в том, что человек, занимающийся только математикой, имеет право на мнение о математике. Я уже цитировал слова Вейерштрасса о том, что математик, в котором нет ни капли поэта, – не настоящий математик. Лично я добавил бы, что математик, в котором нет ни капли философа, не имеет права судить о том, чем он занимается. Я хочу обратиться к тому человеку, который стал одним из двух величайших философов в истории. Я имею в виду Шпенглера, преподавателя математики в гимназии – даже не в университете. Он не был математиком-творцом. Этот человек написал знаменитую книгу «Закат Европы» [6], которая мгновенно подняла на ноги практически весь интеллектуальный мир. Первая после вступления глава его работы посвящена значению чисел, и, по моему мнению, содержание этого раздела проникает в основополагающую сущность математики намного глубже, чем все представленные до сих пор мнения.
Сейчас я зачитаю вам несколько отрывков из книги Шпенглера.
Чтобы наглядно показать тот способ, каким дупла стремится найти свое место в общей картине внешнего мира, – то есть для того, чтобы продемонстрировать, в какой мере Культура в состоянии своего «становления» проявляет или отражает представления о человеческом существовании, – я выбрал понятие числа, изначального элемента, на котором покоится любая математика. Я делаю это по той причине, что математика, доступная во всей своей глубине лишь немногим, занимает совершенно особое место среди всех порождений разума. Это наука самой строгой упорядоченности, и в этом она подобна логике, хотя и является более всеохватной и намного более полной; наряду со скульптурой и музыкой, это подлинное искусство, поскольку требует напутствующего вдохновения и развивается в рамках широких соглашений о формах; это, наконец, метафизика высочайшего уровня, что продемонстрировали Платон и, прежде всего, Лейбниц. Вследствие этого любая философия вырастает в тесном родстве с присущей ей математикой. Число представляет собой повседневно необходимый символ. Подобно концепции Бога, оно содержит в себе окончательный смысл мира как природы. Таким образом, существование чисел можно назвать загадкой, и религиозная мысль любой Культуры испытала на себе их влияние [7].
Итак, в числах как знаках завершенной отделенностн кроется сущность всего действительного, того, что распознано, очерчено четкими границами и становится сразу всем, – Пифагор и некоторые другие смогли увидеть это с полной внутренней убежденностью, вызванной могущественной и подлинно религиозной интуицией [8].
Таким образом, стиль любой зарождающейся математики полностью зависит от той культуры, в которой она возникает, от особенностей народа, над ней размышляющего [9].
Австралийские аборигены, которых относят по интеллектуальному уровню к грубым первобытным народам, обладают математическим инстинктом (или, что то же самое, способностью мыслить числами, еще не выраженными знаками или словами), намного превосходящим греческий в вопросах о толковании чистого пространства. Именно австралийцы изобрели бумеранг, и это можно объяснить только тем, что они владеют уверенным ощущением чисел того класса, для обращения с которым нам требуется прибегать в высшей геометрии [10].
Математика покидает сферу наблюдений и анализа. В минуты своих взлетов она нащупывает путь, опираясь на видения, а не на абстрактные рассуждения [11].
Таким образом, это толкование означает, что число представляет собой основную форму выражения духа культуры, что существует не единственная математика, а множество математик – и наши познания в этой области развивались отнюдь не по прямой линии, тянущейся от вавилонян через греков и арабов к современному миру с неизменными представлениями, с единственным содержанием. Вовсе нет! Шпенглер подчеркивает, что в каждой культуре числа получали особое, иное значение. Для греков они были чем-то похожим на четко разграниченные пространственные тела. Греков заботило не само пространство, а осязаемые, твердые поверхности, такие тела, которые можно ощутить, и потому их числа были, в основном, простыми целыми величинами и связанными с ними дробями. Так продолжалось вплоть до того нервного потрясения, которое пережил Пифагор [12]. Должно быть, вы помните его теорему (см. рис. 12) о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы (в наши дни любой плотник пользуется ею для разметки своих изделий).
ОТКРЫТИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЛАГОДАРЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА
Рис.12
Если выбрать равносторонний прямоугольный треугольник и обозначить длину его катета единицей, то, согласно теореме, квадрат гипотенузы равен двум квадратным единицам, а ее длина – V2. Как выяснилось позже, именно в этот момент Пифагор схватил за хвост дракона – число, которое невозможно выразить ни в понятиях целых чисел, ни даже терминах рациональных дробей. Обнаружилась некая странность, которой не должно было быть. Такие числа стали частью эзотерического учения его Ордена, но вскоре наружу просочились слухи о том, чем занимаются пифагорейцы: они изучают такие дьявольские вещи, как квадратный корень из двух! Членов Ордена начали подвергать гонениям и истреблять.
Позвольте мне объяснить вам, насколько важное место в культуре может занимать число. Шпенглер показал, что наши действительные числа вовсе не являются числами греков, хотя даже сегодня обычные люди не замечают этой разницы. Числом в нашей культуре является понятие функции, взаимоотношения, а не нечто, связанное с четко определенными телами. Наше число – это мысль, движущаяся в пространстве. Что означало бы для греков выражение
у = ах + b
Ровным счетом ничего.
Разумеется, я не утверждаю, что всем нам понятно значение этих знаков. Такое выражение невозможно свести к каким-либо простейшим представлениям о числах. Оно подразумевает фундаментальное взаимоотношение, перемещение сознания от жесткой формы к чему-то неосязаемому. В понятии функции кроется сама сущность современной математики. Чаще всего она описывается в виде уравнения -взаимосвязи между несколькими переменными, одна из которых является зависимой, а все остальные – независимыми величинами. Они постоянно меняются в рамках этой взаимосвязи и не определяют ничего конкретного.
Математике любой культуры соответствует искусство этого общества, его торговля, экономическое устройство, деньги – для греков они были ощутимыми монетами, а у нас превратились, как выражается Шпенглер, в двойную бухгалтерию.
Теория Шпенглера заключается в том, что стиль чисел, развитый некоторой культурой, является одним из самых основополагающих выражений духа этой культуры. Я считаю, что такое представление намного глубже всех ранее описанных мнений. У меня есть и свое собственное толкование. Оно очень простое: математика представляет собой ту часть окончательной истины, которая, если пользоваться терминологией Ауробиндо, нисходит из высшей полусферы в адхару с минимальными искажениями и потому становится нитью Ариадны, позволяющей вновь подняться к высшему самым прямым, самым свободным путем. Быть может, это мнение относится не ко всей математике; оно не включает тот бездушный, бессодержательный математический позитивизм, который столь моден в наши дни, то есть взаимоотношения между пустыми, ничего не значащими символами, с которыми, по словам формалистов, просто играют. Я говорю не об отвлеченной логике, связующей воедино пустоту и уничтожающей любые видения. Великие математики очень часто руководствовались прозрениями, и такие озарения не так уж далеки от чувства глубокой религиозности. Немецкий поэт Новалис [13] был глубоко прав, когда сказал, что математики – преимущественно увлеченные люди. Математик – танцующая в мире мыслей фигура, которая совершает прыжок не просто в обширные пространства, но в саму Бесконечность и при этом чувствует себя там как дома. Сидя в башне из слоновой кости, он мыслит, совершенно не задумываясь о практической пользе, но рано или поздно внешний мир начинает вращаться в согласии с его мыслью.
Оставим на время математику и перейдем к философии, так как эти лекции посвящены математике, философии и йоге. Сейчас уместно вспомнить одну историю. Как-то по телевидению показывали беседу с врачом-терапевтом Полом Дадли Уайтом -это был тот редкий случай, когда для беседы выбирают по-настоящему примечательного человека. Он рассказывал о том, что искусство медицины опирается на несколько наук, таких, как анатомия, физиология, патология и так далее, и специалисты в этих науках задирают нос перед обычным врачом. Однако биохимик смотрит свысока на анатома, физиолога и всех прочих, а чистый химик высокомерно взирает на биохимика. Физик считает себя выше химика, а математик, в свою очередь, презирает физику. Наконец, философ чувствует свое превосходство над математиком, но, как закончил Пол Дадли Уайт, «в случае болезни философу приходится обращаться к самому обычному врачу». Возникает вопрос: не смотрит ли йог свысока на философа? Я не буду на него отвечать! Оставим этот вопрос открытым.
Мышление чистого математика есть мышление о форме, его не заботит содержание того, что он делает. Чтобы извлечь это содержание, не только математику, но и представителям всех прочих искусств и видов человеческой деятельности приходится обращаться к философу. Вот почему я говорю, что Шпенглер понимает математику намного лучше, чем те математики, которые не являются философами. Основной, важнейший предмет философии – поиск значения [meaning] и ценности [value]. В противном случае все окажется пустым, лишенным значения и ценности. В таком, самом широком смысле философия является началом всех наук. Насколько я помню, Уильям Джеймс [14] однажды очень справедливо заметил, что всякий раз, когда философ начинает получать ясные ответы на какие-либо поставленные природе вопросы, рождается новая наука, еще одна ветвь дерева мысли. С течением времени многие такие ответвления превращаются в независимые дисциплины, отдаляются от первоначальной философии и становятся в определенной мере самостоятельными. Иногда эти отпрыски оказываются довольно высокомерными и начинают чувствовать себя самодостаточными. Однако если они мудры, то по-прежнему обращаются к философии, чтобы та рассказала им, чем они занимаются. Таким образом, философия неизменно располагает кругом вопросов, на которые еще не найдены ясные ответы; эти вопросы связаны с определенными (и не очень многочисленными) областями: логикой, эпистемологией, метафизикой, этикой и эстетикой. Так выглядит философия с технической, узкоспециализированной точки зрения.