Математика. Поиск истины.

Клайн Морис

Примерно до начала XIX в. подобных взглядов придерживались практически все математики, а некоторые представители математической науки разделяли их и позднее. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865) — хотя именно он изобрел тот самый объект (кватернионы), который поставил под сомнение истинность арифметики, — в своих взглядах во многом сходился с Декартом:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений… Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявления человеческого начала.

([13],

с. 371.)

Один из ведущих алгебраистов XIX в. Артур Кэли, выступая с докладом перед Британской ассоциацией поощрения наук (1883), заявил, что «мы… обладаем априорными познаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта… Эти познания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта».

В то время как одни ученые, подобно Гамильтону и Кэли, считали математику неотъемлемой частью человеческого разума, другим она представлялась существующей в мире вне человека. До начала XX в. существование единственного объективного мира математических истин, не зависящих от человека, ни у кого не вызвало сомнений, и это вполне понятно. Даже Гаусс, первым оценивший значение неевклидовой геометрии, был убежден в истинности понятий числа и математического анализа. Один из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар (1865-1963) в книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» утверждал: «Хотя истина еще не известна нам, она предсуществуети неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать». На Международном математическом конгрессе в Болонье (1928) Давид Гильберт вопрошал: «Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины?» ([27], с. 388).

Примерно то же мнение выразил в своей книге «Апология математика» выдающийся аналитик Джефри Г. Харди (1877-1947): «Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас и наша роль заключается в том, чтобы открывать или наблюдатьее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют просто записи наших наблюдений». Математики только открывают понятия и их свойства.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат мыслителям XX в., не уделявшим особого внимания основаниям математики или вообще не занимавшимся ими. Удивительно, что даже по утверждениям признанных лидеров в области оснований математики, таких как Давид Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки (см. гл. XII), математические понятия и свойства существуют в некотором смысле объективно и познаваемы человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают; поэтому то, что изменяется и эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики.

Все эти рассуждения о существовании объективного единого «здания» математики ничего не говорят об истинном «местопребывании» ее. Все они сводятся к тому, что эта наука существует в некоем «сверхчеловеческом мире», каком-то воздушном замке, а математики только открывают ее положения. Аксиомы и теоремы не есть лишь творения одного человеческого разума; подобно богатствам, скрытым в земных недрах, их надлежит извлечь на поверхность, терпеливо раскапывая одну за другой. Существование их представляется столь же независящим от человека, как существование планет.

Что же такое математика: россыпь алмазов, скрытых в недрах реального мира и постепенно извлекаемых оттуда, или груда искусственных камней, созданных людьми, столь блестящих, что они своим блеском ослепили иных математиков, которые и без того переполнены гордостью за свои творения?

Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что математика — создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний.

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме к Веберу Дедекинд так

говорил о «рукотворности» математики: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое…, созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем… способностью творить» ([13], с. 374). Вейерштрасс вторит ему: «Истинный математик всегда поэт» ([13], с. 374). Ученик Рассела, известный философ Людвиг Витгенштейн также считал, что математик — изобретатель, а не открыватель. Эти и многие другие мыслители рассматривали математику как нечто не связанное с эмпирическими открытиями или рациональной дедукцией. Их позиция не лишена оснований: ведь даже такие элементарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедуктивными следствиями из эмпирически установленных фактов, ни объективными сущностями внешнего мира.

Тех, кто склонен видеть в математике творение человеческого разума, по существу можно отнести к кантианцам, ибо Иммануил Кант видел источник математики в организующей силе человеческого разума. Однако современные философы утверждают, что математика имеет своим истоком не морфологию или физиологию разума, а его активность. Именно активность разума с ее эволюционирующими методами несет в себе организующее начало. Творческая активность разума постоянно рождает новые, высшие формы мысли. На примере математики можно ясно видеть, что человеческий разум не ограничен в своей способности созидать некий объем знания, который он сам считает интересным или полезным. Область такого созидания не замкнута. Творческая активность способна создать понятия, применимые как к существующим, так и к вновь возникающим областям мысли. Человеческий разум наделен способностью изобретать конструкции, включающие в себя результаты опыта, и упорядочивать их. Источник математики — в непрерывном развитии самого разума.

Ныне возникает немало разногласий по поводу природы самой математики и утрате ею своего исключительного положения как общепризнанной бесспорной области знания, и это свидетельствует о том, что математика — творение человеческого разума. Как сказал Эйнштейн, «всякий, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов» ([13], с. 375).

Математики «оставили бога», поэтому им не оставалось ничего другого, как обратиться к человеку, что они и сделали. Они продолжали развивать свою науку и искать законы природы, прекрасно понимая, что их открытия отнюдь не замысел божий, а творения человека. Успехи, достигнутые математиками в прошлом, помогли им обрести уверенность в собственной правоте, и, к счастью, немало новых успехов увенчало их усилия. Жизнь математики была спасена благодаря чудодейственному лекарству, также приготовленному людьми: великолепным достижениям в небесной механике, акустике, гидродинамике, оптике, теории электромагнетизма, технике и фантастической точности предсказаний, основанных на математических теориях.

В своей «Загадочной Вселенной» (1930) Джеймс Джинс как бы подводит итог этому развитию математики:

Наши далекие предки пытались интерпретировать природу с помощью ими же созданных антропоморфных понятий и потерпели неудачу. Столь же безуспешными оказались и усилия наших не столь отдаленных предшественников, пытавшихся рассматривать природу как своего рода механизм… Вместе с тем наши усилия познать природу, пользуясь понятиями чистой математики, до сих пор были необычайно успешными. Ныне представляется бесспорным, что природа теснее связана с понятиями чистой математики, чем с понятиями биологии и техники.

Далее Джинс, подчеркивая близкое родство между человеком и физическим миром, замечает: «Во всяком случае, не подлежит сомнению, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам» ([13], с. 398). И далее осторожно добавляет: «Вселенную лучше всего изображать (хотя и этот образ далек от совершенства и неадекватен) как чистую мысль, принадлежащую кому-то, кого за неимением более подходящего слова мы назовем математическим мыслителем». Тем, кто все еще сетует на то, что физические науки достигают успеха ценой математической абстракции, следовало бы поразмыслить и попытаться понять, какие откровения они ожидали найти в самом полном научном изложении природы физического мира.