Менеджмент: конспект лекций
Шрифт:
Прямая (2) – это прямая 110,00 К + 120,00 С = 400,00 (ограничение по калориям). Обратим внимание, что в области неотрицательных С она расположена всюду ниже прямой (1). Действительно, это верно при К = 0, прямая (1) проходит через точку (0,20), а прямая (2) – через расположенную ниже точку (0, 400/120). Точка пересечения двух прямых находится при решении системы уравнений
1,00 К + 0,25 С = 5,00,
110,00 К + 120,00 С = 400,00.
Из первого уравнения К = 5–0,25 С .
Прямая (4) – это прямая 0,1 К + 0,25 С = 1 (ограничение по веществу Т). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (10,0) на оси абсцисс и (0,4) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров ( К, С ) лежат выше прямой (4) или на ней, как и для прямой (1).
Следовательно, область допустимых значений параметров ( К, С ) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых, а также включает граничные отрезки). Область допустимых значений параметров, т. е. точек ( К, С ), можно назвать «неограниченным многоугольником». Минимум целевой функции 3,8 К + 4,2 С может достигаться только в вершинах этого «многоугольника». Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10,0) и ординат (0,20) прямых (1) и (4) (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина – это точка А пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений
0,10 К + 0,25 С = 1,00,
1,00 К + 0,25 С = 5,00.
Из второго уравнения К = 5–0,25 С , из первого 0,10 (5–0,25 С ) + 0,25 С = 0,5–0,025 С + 0,25 С = 0,5 + 0,225 С = 1, откуда С = 0,5/0,225 = 20/9 и К = 5–5/9 = 40/9. Итак, А = (40/9; 20/9).
Прямая (3) – это прямая, соответствующая целевой функции 3,8 К + 4,2 С . Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А , через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8х40/9 + 4,2х20/9 = 236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена.
Двойственная задача, построенная по описанным
3,8 К + 4,2 С → min, W 1 + 5 W 2 + 400 W 3 → max,
0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00, 0,1 W 1 + 1,10 W 2 + 110 W 3 ≤ 3,8,
1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00, 0,25 W 1 + 0,25 W 2 + 120 W 3 ≤ 4,2,
110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00, W 1 ≥ 0,
К ≥ 0, W 2 ≥ 0,
С ≥ 0. W 3 ≥ 0.
Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т. е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных: W 1 – «стоимость» единицы вещества Т, а W 2 – «стоимость» единицы вещества Н, измеренные «по их вкладу» в целевую функцию. При этом W 3 = 0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения. Итак, W 1 , W 2, W 3 – это т. н. объективно обусловленные оценки (по Л.В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий).
Планирование номенклатуры и объемов выпуска. Вернемся к организации производства. Предприятие может выпускать автоматические кухни (вид кастрюль), кофеварки и самовары. В табл.2 приведены данные о производственных мощностях, имеющихся на предприятии (в штуках изделий).
При этом штамповка и отделка проводятся на одном и том же оборудовании. Оно позволяет штамповать за заданное время или 20000 кухонь, либо 30000 кофеварок, либо и то, и другое, не в меньшем количестве. А вот сборка проводится на отдельных участках.
Задача линейного программирования имеет вид:
Х 1 ≥ 0, Х 2 ≥ 0, Х 3 ≥ 0, (0)
Х 1 / 200 + Х 2 / 300 + Х 3 / 120 ≤ 100, (1)
Х 1 / 300 + Х 2 / 100 + Х 3 / 100 ≤ 100, (2)
Х 1 / 200 ≤ 100, (3)
Х 2 / 120 ≤ 100, (4)
Х 3 / 80 ≤ 100, (5)
F = 15 Х 1 + 12 Х 2 + 14 Х 3 → max.
Здесь:
(0) – обычное в экономике условие неотрицательности переменных,
(1) – ограничение по возможностям штамповки (выраженное для облегчения восприятия в процентах),
(2) – ограничение по возможностям отделки,
(3) – ограничение по сборке для кухонь,
(4) – то же для кофемолок,
(5) – то же для самоваров (как уже говорилось, все три вида изделий собираются на отдельных линиях).