Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма
Шрифт:

Иллюстрация метода исчерпывания, при котором площадь под кривой находится между большей и меньшей площадями.

Возвращаясь к раннему времени его переписки с Мерсенном и Робервалем, в 1636 году, мы видим, что Ферма был занят трактатом Архимеда о спиралях, в котором тот нашел квадратуру спирали, носящей его имя. Ферма распространил этот метод на другие спирали, например на ту, которую он нашел при решении задачи Галилея, упомянутой нами ранее. Ферма бросил вызов Робервалю, предлагая ему найти квадратуру кубической параболы, графика кубической функции: у3– kx, которую он рассматривал впервые и которая была очень похожа на параболу. Роберваль ответил сразу же. У него уже был метод, подобный

методу Ферма, основанный на теореме о сумме степеней целых чисел, найденной тулузцем в ходе исследований по теории чисел, и старом "методе исчерпывания", изобретенном Евдоксом и примененном Архимедом. Он состоит в том, чтобы определить искомую площадь между двумя суммами (см. рисунок). Одна из этих сумм — сумма прямоугольников, подобных DEFG (описанных), большая, чем реальная площадь под кривой, другая — сумма площадей прямоугольников, подобных HIFG (вписанных), меньшая, чем искомая площадь. Очевидно, что реальная площадь находится между этими двумя суммами. Метод исчерпывания состоял в том, чтобы предложить площадь и обосновать методом двойного доказательства от противного, что она является единственной площадью, величина которой находится между этими двумя суммами; это может быть только реальная площадь.

Метод Ферма и Роберваля не работал для некоторых кривых, как они оба быстро убедились. Казалось, Ферма перестал интересоваться данной темой. Но в 1658 году он практически сразу же ответил на недавнюю работу Уоллиса о квадратурах, распространив собственный трактат, который он явно вынашивал в течение многих лет.

В "Трактате о квадратурах" Ферма показывал, как далеко он зашел. Теперь его метод был применим ко всем гиперболам степени больше двух, которые не поддались ему за 20 лет до этого. Он произвел радикальные изменения. Там, где Архимед (и что присутствовало в ранних методах самого Ферма и Роберваля) искал конечные суммы, Ферма теперь допускал возможность бесконечной суммы прямоугольников на оси абсцисс. Это был единственный способ проанализировать площадь под гиперболой, поскольку альтернатива заключалась не в бесконечном числе прямоугольников, а в конечном числе прямоугольников с бесконечной площадью. Прямоугольник с бесконечной площадью при сложении с другими прямоугольниками дает бесконечную площадь. Наоборот, бесконечное число прямоугольников может в некоторых условиях дать конечную площадь. Но, кроме того, метод Ферма отличался от метода исчерпывания тем существенным обстоятельством, что уже больше не было необходимости определять площадь между двумя суммами. Математик приравнивал верхнюю сторону каждого прямоугольника к очень маленькому отрезку гиперболы. Чем меньше был отрезок, тем точнее было это равенство и, следовательно, площадь под отрезком кривой была ближе к площади соответствующего прямоугольника. Разница тончайшая, но основополагающая.

Она была такой тонкой, что Ферма даже не осознал, насколько важным было изменение. Его понятие приравнивания изменилось: речь уже шла не о том, чтобы приравнять любые конечные величины. Ферма открыл бесконечно малые. Однако он был уверен, что продолжает традицию Архимеда. Ученый не понял, насколько большой концептуальный скачок он сделал, и теперь его греческие учителя, вызывавшие у него восхищение, уже не могли идти за ним по этой неисследованной дороге. Снова, не осознавая этого, Ферма хоронил традицию, которую так уважал. Действительно, квадратура кривых — это операция, которую мы сегодня называем интегрированием, хотя, как и в случае с касательными, Ферма не смог увидеть, что площадь под кривой тоже выражена уравнением.

Иллюстрация метода спрямления кривых Ферма.

СПРЯМЛЕНИЕ

Если "квадрировать" означает найти площадь прямоугольника, равную площади другой фигуры, образованной кривой, то "спрямить" означает найти прямую линию, по длине равную длине кривой линии. Задача опять восходит к грекам.

Аристотель утверждал, что невозможно найти прямую линию, равную по длине кривой линии. Его авторитет был так велик, что даже в XVII веке большинство математиков были согласны с ним, несмотря на то что уже удалось сделать некоторые спрямления, в частности Архимеду. Следуя за этим выдающимся математиком, Ферма был убежден в возможности спрямления кривых. Его работа на данную тему — единственный случай, когда трактат Ферма был опубликован в печатном виде при жизни автора, в качестве приложения к работе его друга, тулузского иезуита Антуана де Лалувера (1600-1664), в 1660 году. Однако ее опубликовали анонимно. Ее автора можно было определить только по инициалам, которые не соответствовали инициалам Ферма. Последователи Декарта, подражая учителю, пребывали в уверенности, что Аристотель был прав. Ферма в своем трактате решил доказать, что картезианцы ошибаются.

МЕТОДИКА ДВУХ ПОЗДНИХ ТРАКТАТОВ ФЕРМА

В ·Трактате о квадратурах" используется значительная часть прежних открытий Ферма: его метод максимумов и минимумов, который помогает разделить кривую на отрезки, монотонно возрастающие или убывающие; аналитическая геометрия, позволяющая осуществлять действия с этими отрезками; и, конечно же, прием приравнивания. Как и можно было ожидать, у него получился аналитический трактат. Наоборот, ‘Трактат о спрямлении" методически очень отличается от всего, что Ферма написал к тому времени. Действительно, тулузец отдалился от своего аналитического метода и применил греческий синтетический метод, которым пользовались такие классики, как Евклид. При этом его аналитическое рассуждение оказалось скрыто. Почему он так сделал — загадка, но, возможно, это было связано с традициями. Трудоемкость, которую предполагало написание подобной работы, сравнимая с работой Ньютона в ‘Началах", в свою очередь, могла бы объяснить, почему он не пользовался этим подходом ни в каком другом своем труде.

В "Трактате о спрямлении" Ферма в ясном виде приравнивает заданный касательный к кривой отрезок DE к дуге FE (см. рисунок). Для приравнивания данный отрезок обязательно должен быть произвольно малым. Говоря в общих чертах, Ферма думал о кривой как о линии, образованной огромным числом очень маленьких прямолинейных отрезков, каждый из которых является касательным к кривой. Сумма длин этих бесконечно малых отрезков дает длину кривой (спрямление).

Следующим шагом было нахождение суммы длин таких отрезков, и здесь Ферма использовал прием, именуемый сегодня "изменением переменной". Это был гениальный скачок: изменение переменной определяло обычную параболу (второй степени), квадратура которой равна значению разыскиваемой нами суммы. Другими словами, Ферма превратил проблему спрямления в проблему квадратуры, уже известную и решенную им самим. Не довольствуясь достигнутым, он определил бесконечное семейство кривых, основанных на обобщенной параболе, и доказал, что если она спрямляема, то и все остальные тоже. Он сделал это, доказав, что всегда можно построить обычную параболу, которую мы только что упомянули. Ему не только удалось спрямить кривую; он доказал, что число спрямляемых кривых бесконечно.

Но именно этот шаг сведения спрямления к квадратуре снова помешал Ферма увидеть, что результат его спрямления является еще одним уравнением. Он даже не осознал, что почти дотрагивается до основных принципов анализа. Ему удалось начать думать о бесконечно малых, что было важным шагом в открытии анализа, но это не только не привело Ферма к пересмотру своей работы о касательных и максимумах, но он также не смог истолковать свои результаты как уравнения: он думал о подкасательных и площадях.

Годами позже (и частично благодаря работам Ферма) Лейбниц и Ньютон независимо пришли к основным идеям анализа: использованию бесконечно малых и основополагающей идее того, что операция вычисления углового коэффициента касательной к кривой, заданной уравнением А, дает в результате уравнение В, а операция нахождения квадратуры кривой В дает в результате уравнение А. Другими словами, нахождение угловых коэффициентов и квадратур, дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями, как сложение и вычитание. Это основная теорема анализа.

Как стало возможным, что Ферма не понял, насколько важное открытие находится рядом? Это ужасно досадно. Так же как и рыцарь Персеваль, Ферма увидел Святой Грааль, но не смог узнать его, что лишило его лавров первооткрывателя. В любом случае, великое открытие, которое удалось сделать Лейбницу и Ньютону, — еще один пример чудесных мостов между внешне непохожими проблемами. С подобным, как мы видели, столкнулись Ферма и Декарт при создании аналитической геометрии, а также Танияма, Симура и Уайлс при работе над гипотезой, которая носит имя первых двух.

И здесь мы почти закончили нашу историю.

ГЛАВА 6

Вероятность и принцип Ферма

Вклад Ферма в математику не исчерпывается большими областями, о которых мы говорили до этого момента, — теорией чисел, а также аналитической геометрией и анализом. Наряду с Паскалем он также стоял у истоков теории вероятностей. Свои же последние годы ученый посвятил полемике с Декартом вокруг оптики.

Говорить о "законах случая", на первый взгляд, нелепо. Как случай, который по определению непредсказуем, может иметь законы? Если сегодня, в разгаре XXI века, это понятие кажется нам удивительным, то во времена Ферма оно было невообразимым. Но такие законы существуют, и Ферма сыграл важную роль в их изучении по инициативе Блеза Паскаля.

Поделиться:
Популярные книги

Царь поневоле. Том 1

Распопов Дмитрий Викторович
4. Фараон
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Царь поневоле. Том 1

Измена. Не прощу

Леманн Анастасия
1. Измены
Любовные романы:
современные любовные романы
4.00
рейтинг книги
Измена. Не прощу

Мастер Разума IV

Кронос Александр
4. Мастер Разума
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Мастер Разума IV

Король Масок. Том 1

Романовский Борис Владимирович
1. Апофеоз Короля
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Король Масок. Том 1

Мерзавец

Шагаева Наталья
3. Братья Майоровы
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
короткие любовные романы
5.00
рейтинг книги
Мерзавец

Я — Легион

Злобин Михаил
3. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
7.88
рейтинг книги
Я — Легион

Не грози Дубровскому! Том II

Панарин Антон
2. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том II

Девятый

Каменистый Артем
1. Девятый
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
9.15
рейтинг книги
Девятый

Матабар. II

Клеванский Кирилл Сергеевич
2. Матабар
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Матабар. II

Ты нас предал

Безрукова Елена
1. Измены. Кантемировы
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Ты нас предал

Девочка по имени Зачем

Юнина Наталья
Любовные романы:
современные любовные романы
5.73
рейтинг книги
Девочка по имени Зачем

Не грози Дубровскому! Том V

Панарин Антон
5. РОС: Не грози Дубровскому!
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Не грози Дубровскому! Том V

Проданная Истинная. Месть по-драконьи

Белова Екатерина
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Проданная Истинная. Месть по-драконьи

Генерал Империи

Ланцов Михаил Алексеевич
4. Безумный Макс
Фантастика:
альтернативная история
5.62
рейтинг книги
Генерал Империи