Светлые века. Путешествие в мир средневековой науки

Фальк Себ

Серьезной научной подготовки в Сент-Олбанской грамматической школе Джон Вествик, скорее всего, не получил, но наверняка овладел как минимум азами арифметики, в том числе счетом и пониманием сути элементарных функций сложения и вычитания, деления и умножения. Никаких средневековых пособий для начинающих не сохранилось, но распространенные в монастырях учебники математики предполагали, что их читатели уже освоили базовый уровень.

Простые математические действия выполнялись в записи римскими цифрами; когда родился Джон Вествик, шел очень постепенный переход от этой системы к индо-арабским десятичным цифрам, которыми мы пользуемся сегодня. Цифры от 0 до 9 проникли на Запад только в XII веке [57] . То было великое время научного перевода, когда гуманитарии Испании и Южной Италии в ускоренном темпе перекладывали на латынь важнейшие арабские и греческие научные труды. Новые цифры значительно облегчали сложные астрономические и математические расчеты и постепенно прокладывали себе

путь из Средиземноморья в Северную Европу. Огромную роль в популяризации арабских цифр сыграл итальянский математик Леонардо из Пизы, больше известный как Фибоначчи. Но английские монахи, которые с готовностью переняли десятичную систему счисления и обучали ей учеников, прекрасно знали, что пришла она с Востока, через исламские страны из Индии:

57

См., например: Carmen de Algorismo of Alexander Villedieu. Edited in J. O. Halliwell, Rara Mathematica (London, 1841), 73–83. О десятичной системе счисления в Индии V–VII веков, в особенности о решающем вкладе Брахмагупты (598–668), см.: K. Plofker, 'Mathematics in India', in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, ed. V. J. Katz (Princeton, 2007), 385–514.

«Алгорисми говорит: когда я увидел, как индийцы записывают символ IX своими универсальными цифрами… я захотел узнать, как их можно использовать так, чтобы – с Божьей помощью – учиться было легче» [58] .

Этим предложением открывается сочинение о новых цифрах, переписанное в XIII веке в аббатстве Бери-Сент-Эдмундс в Восточной Англии. Монах из Бери-Сент-Эдмундс написал его на латыни, но ему было отлично известно, что «Алгорисми» изначально создавал свой трактат на арабском языке. Автор оригинального арабского текста – увы, утерянного – энциклопедист IX века Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, жи вший в Центральной Азии. Аль-Хорезми познакомился с индийской арифметикой и принялся активно ее продвигать, когда работал в Багдаде, столице славного своими научными достижениями Аббасидского халифата. Делясь этими знаниями четыре столетия спустя, английский переписчик-бенедиктинец пунктуально зафиксировал их арабское и индийское происхождение.

58

Cambridge, University Library MS Ii.6.5, fol. 104r. Факсимиле и транскрипция: K. Vogel, Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus: das fr"uheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern (Aalen, 1963); перевод на английский: J. N. Crossley and A.S Henry, 'Thus Spake Al-Khwarizmi: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5', Historia Mathematica 17 (1990): 103–131.

Европа узнала о новых цифрах из текстов передовых для своего времени трактатов по теории чисел, которую средневековые переводчики на латынь в честь аль-Хорезми называли «алгорисмус»; отсюда произошло и современное слово «алгоритм» [59] . Преимущества применения новых цифр в сложных арифметических и геометрических вычислениях были очевидны, но стоит ли переключаться на новую систему в быту – было не совсем понятно. Хотя все числа в дошедших до нас рукописях Вествика – в обширных астрономических и тригонометрических таблицах, составленных им позже, – записаны цифрами, которые мы ошибочно называем арабскими, свои школьные математические упражнения он записывал римскими цифрами.

59

J.N. Crossley, 'Old-Fashioned versus Newfangled: Reading and Writing Numbers, 1200–1500', Studies in Medieval and Renaissance History 10 (2013): 79–109.

Принципиальное различие между римской и индо-арабской записью в том, что последняя приписывает каждому разряду определенное значение. Вес цифры зависит от ее места. В числе 21 цифра 1 означает «один», но в числе 12 она же означает «десять». С римскими цифрами все иначе, там I всегда означает «один», а Х – всегда «десять», и неважно, где цифра стоит: в конце (CIX) или в начале (XIII). Наша десятичная система – только одна из возможных форм позиционной системы счисления. Хотя цифры от 1 до 9 и знак пустого разряда 0 пришли из Индии V или VI века, сама концепция позиционной системы счисления гораздо старше и уходит корнями в вавилонскую, изобретенную где-то до 2100 года до н. э. Эта система счисления, унаследованная и частично перенятая у шумеров древними египтянами, греками и индийцами, была шестидесятеричной (sexagesimal – от латинского слова «шестьдесят»). Понимание шестидесятеричной системы важно для изучения средневековой математики и астрономии.

Вавилоняне записывали числа от 1 до 59 характерными клинообразными значками. (Чем больше было число, тем б'oльшим количеством одинаковых значков оно обозначалось – в силу того, что эта система произошла от непозиционной системы счисления; однако

читались числа как одно целое.) После 60 вавилоняне использовали те же значки, сдвигая их на шаг левее. Так, например, они писали наше 70 как 110 – для большей ясности мы можем добавить запятую, и тогда получится 1,10. Число слева от запятой – множитель 60. Дополнительная запятая отделяла бы следующий разряд шестидесяти. Число 2,21,40 содержит три разряда: 2 символизирует 2 х 3600, 21–21 х 60, а 40 – это 40 единиц. Соответственно число 2,21,40 в десятичную систему переводится следующим образом: (2 х 3600) + (21 х 60) + 40 = 8500. Система может показаться громоздкой, но вавилонянам было достаточно всего 14 символов, чтобы заставить ее работать, а это почти в два раза меньше, чем 26 символов современного английского алфавита [60] .

60

Древние греки, а вслед за ними и арабы в Средние века обозначали цифры буквами алфавита: 27 букв расширенного алфавита представляли числа от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900.

Довольно странно наряду с десятичной использовать элементы и шестидесятеричной системы, но мы так и делаем, когда указываем время в часах, минутах и секундах. Моряки до сих пор определяют положение корабля в градусах, минутах и секундах (хотя в наши дни вместо секунд все чаще используют десятую часть минуты), потому что мы все еще держимся за шестидесятеричную систему счисления, унаследованную от вавилонских пионеров науки о времени и пространстве. Джон Вествик вычислял точное расположение планет именно в шестидесятеричной системе счисления.

Мы и сегодня записываем числа иногда словами (например, «десять» или «двадцать»), а иногда – римскими либо индо-арабскими цифрами, но читаем их всегда одинаково – так же поступал и Вествик, и его коллеги-монахи в XIV веке. Даже освоив индо-арабские цифры и шестидесятеричную запись, они не отказались от римских цифр. Безусловно, монахи оценили удобство десятично-шестидесятеричной системы для решения сложных математических задач, особенно если говорить о дробях, и понимали, какие возможности открывает перед ними ее приложение к более широкому кругу проблем, особенно в важнейшей математической науке – астрономии, где было принято делить небо на градусы и минуты. Однако римские цифры были понятными и привычными, что обеспечило им неувядающую популярность вне академического круга. Когда в 1440 году инок из Уоррингтона, городка на северо-западе Англии, взялся переводить с латыни на среднеанглийский язык руководство по изготовлению солнечных часов, он заодно перевел индо-арабские числа в римские [61] . Уверен, читатели оценили его заботу.

61

University of Aberdeen MS 123, ff. 66r-67v.

В 1396 году монахи Сент-Олбанса наконец исправили несправедливость длиной в две сотни лет, учиненную Джеффри Горэмом. Когда Джон Вествик родился, поместье Уэствик принадлежало графу Оксфорду, фавориту Ричарда II, но в 1388 году Безжалостный парламент осудил графа Роберта за измену и конфисковал его владения. Восемь лет спустя аббат Сент-Олбанса сговорился о покупке Уэствик-Горэма за 900 марок. Чтобы собрать такую внушительную сумму, пришлось скидываться, и хронист аббатства записал имена монахов и других благодетелей, которые внесли свою лепту. Он аккуратно отметил, какую сумму выделил каждый, – с помощью римских цифр:

«Предмет: получено в порядке дарения от братии и прочих как вспомоществование для покупки владения Уэствик, как то: в дар от владыки Николаса из Редклифа, архидьякона, XL марок. В дар от господина Роджера Хенрида, ризничего, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса. В дар от Томаса Сайдона, слуги аббата, VI фунтов XIII шиллингов IIII пенса…»

Список содержит имена 15 жертвователей и завершается следующими строками:

«В дар от Роберта Транча XI шиллингов & VIII пенсов.

Итого: L фунтов II шиллинга VIII пенсов» [62] .

62

Cambridge, Corpus Christi College, MS 7, f. 98r. Edited in GASA (см. прим. 24), 3: 399–400, 454–457. F. Madden, B. Bandinel and J. G. Nichols, eds., Collectanea Topographica et Genealogica (London, 1838), 5: 194–197.

Здесь римские цифры используются вперемешку с чем-то довольно близким к позиционной системе счисления: фунтами, шиллингами и пенсами. (Вавилонская позиционная система счисления сложилась на базе единиц такого же типа, приспособившись к измеряемой величине.) В шиллинге было 12 пенсов, а в фунте – 20 шиллингов. Задача усложнялась тем, что деньги считали еще и в марках: одна марка составляла 2/3 фунта, или 13 шиллингов 4 пенса. Николас из Редклифа пожертвовал 40 марок, да и Роджер Хенрид и Томас Сайдон вряд ли намеревались внести в копилку непонятные 6 фунтов, 13 шиллингов и 4 пенса, а скорее всего, выделили круглую сумму в 10 марок. Хронист аббатства суммировал все эти марки, фунты, шиллинги и пенсы и пришел к верному результату (записав его римскими цифрами): 50 фунтов 2 шиллинга и 8 пенсов.