Темные целые
Шрифт:
Я глубокомысленно кивнул:
— Я вижу, куда вы клоните.
Если вы не собирались полностью соглашаться с учением Платона, где имелся своего рода воображаемый учебник, содержащий вечные математические истины, то его полусырая версия, согласно которой эта книга изначально была пустой и заполнялась строчка за строчкой по мере проверки различных теорем, представлялась компромиссом худшего рода. Более того, когда «та сторона» позволила в Шанхае мне, Юэню и Элисон на несколько минут заглянуть в их математику, Юэнь заявил, что поток математической информации действительно подчиняется локальности Эйнштейна; нет никакой универсальной книги истин, а есть лишь записи о событиях прошлого, ползущие по Вселенной со скоростью
Но я, однако, не мог сказать Кэмпбеллу, что не только совершенно точно знаю, как один и тот же компьютер может доказать и теорему, и ее отрицание, но и то, что в зависимости от порядка, в каковом проводятся вычисления, он может иногда даже перемещать границу, за которой один набор аксиом уже не работает и сменяется другим.
— И все же вы до сих пор полагаете, что имеет смысл поискать эту несовместимость? — осведомился я.
— Да, — признал он. — Хотя я пришел к этой идее, используя совершенно иной подход. — Помолчав, он взял лепешку с ближайшего стола. — Один камень, одно яблоко, одна булочка. Мы ясно представляем, что подразумеваем под этими фразами, хотя каждая из них может воплощаться примерно десятью в тридцатой степени слегка различающимися конфигурациями материи. Моя «одна лепешка» — это не то же самое, что ваша «одна лепешка».
— Согласен.
— Вы знаете, как в банках подсчитывают большие количества наличных денег?
— Взвешивая их? — Вообще-то, имелись и другие способы перекрестной проверки, но я видел, куда он клонит, и не захотел отвлекать мелочными придирками.
— Правильно. Допустим, мы попробовали сосчитать тем же способом лепешки: взвесили некоторое их количество, разделили на какую-то номинальную величину и округлили до ближайшего целого числа. Вес любой отдельной лепешки варьирует настолько, что вы можете в результате получить версию арифметики, отличающуюся от нашей. Если вы «сосчитали» две отдельные партии, затем смешали их и «подсчитали» вместе, то нет никакой гарантии, что результат совпадет с обычным процессом суммирования целых чисел.
— Ясно, что гарантии нет, — согласился я. — Но цифровые компьютеры не работают на лепешках и не подсчитывают биты, взвешивая их.
— Потерпите немного, — ответил Кэмпбелл. — Аналогия не из лучших, но я не настолько сумасшедший, как следует из моих слов. Предположим теперь, что вес, называемое нами «одна вещь», имеет огромное количество возможных конфигураций, которые мы или сознательно игнорируем, или же буквально неспособны различить. Даже нечто столь простое, как электрон в определенном квантовом состоянии.
— Теперь вы говорите о скрытых переменных?
— В каком-то смысле да. Вы знаете о моделях Джерарда Хуфта для детерминированной квантовой механики?
— Только смутно, — признал я.
— Он постулировал полностью детерминированные степени свободы по шкале Планка [4] с квантовыми состояниями, соответствующими классам эквивалентности, содержащим много различных возможных конфигураций. Более того, все обычные квантовые состояния на атомных уровнях будут сложными суперпозициями тех изначальных состояний, что позволят ему обходить неравенства Белла.
4
В физике частиц и физической космогонии шкала Планка — это шкала энергий, при которых квантовые эффекты гравитации становятся сильными. Предполагается, что в масштабах этой шкалы сила гравитации становится сравнимой с другими силами, и теоретически все фундаментальные силы при этой шкале унифицируются, но точный механизм этой унификации остается неизвестным. Кроме того, этот термин обозначает шкалу длины (Планковская длина), при которой понятия размера и расстояния теряют смысл,
Я слегка нахмурился. Картину я более или менее представил, но придется прочитать статьи Хуфта.
— В некотором смысле детальная физика не так важна, пока вы признаете, что «одна вещь» может не всегда быть точно такой же, как другая «одна вещь», независимо от вида объектов, о которых мы говорим, — продолжил Кэмпбелл. — С учетом этого предположения физические процессы, которые кажутся строго эквивалентными при различных арифметических операциях, могут оказаться не такими надежными, как можно подумать. При взвешивании лепешек просчеты теории очевидны, но я говорю о потенциально более тонких результатах неверного понимания фундаментальной природы материи.
— Гм-м. — Хотя было маловероятно, что кто-либо из тех, кому Кэмпбелл доверился, отнесся к этим предположениям так же серьезно, как я, мне не только не хотелось произвести на него впечатление слабого противника, но я честно не представлял, имеет ли что-нибудь из сказанного хоть малейшую связь с действительностью.
— Интересная идея, но я все еще не вижу, как она может ускорить охоту на несовместимости.
— У меня есть набор моделей, — пояснил он, — которые ограничены необходимостью согласовываться с некоторыми из идей Хуфта о физике, а также необходимостью сделать арифметику почти совместимой для очень широкого диапазона объектов. От нейтрино до скоплений галактик базовая арифметика, включающая виды чисел, с которыми мы можем столкнуться в обычных ситуациях, должна работать обычным образом. — Он рассмеялся. — Ведь это мир, в котором мы живем, правильно?
Живут — некоторые из нас…
— Да.
— Но интересно, что я вообще не могу заставить физику работать, если арифметика в конечном итоге не «перекашивается» — если не возникают трансастрономические числа, при которых физические представления больше не стыкуются с арифметикой в полной мере. И каждая из моих моделей позволяет предсказывать — более или менее точно, — где эти эффекты могут проявляться. Начав с фундаментальных физических законов, я могу вывести последовательность вычислений с большими целыми числами, которые должны выявить несогласованность, и для этого хватает обычного компьютера.
— Что приведет вас прямо к дефекту, без необходимости проводить поиск. — Я произнес «дефект» в единственном числе, но теперь это уже не имело значения.
— Теоретически. — Кэмпбелл слегка покраснел. — То есть, вы сказали, «без поиска», но он все же нужен, только в гораздо меньшем масштабе. В моих моделях все еще есть свободные параметры, и потенциально нужно проверить миллиарды возможностей.
Я широко улыбнулся, гадая, не кажется ли выражение моего лица таким же фальшивым, как и мои чувства:
— Но пока безуспешно?
— Да. — Кэмпбелл опять засмущался и оглянулся, проверяя, не подслушивают ли нас.
Он лжет? Держит результаты в секрете, пока не сможет проверить их еще миллион раз, а затем решить, как лучше всего объяснить их коллегам-скептикам и непонимающему миру? Или сделал нечто такое, что бросило маленькую гранату в мир Сэма, но зарегистрировалось в компьютере Кэмпбелла как самая обычная арифметика, не оставив даже намека на то, что он пересек границу? В конце концов, набор атакующих теорем подчинялся нашим аксиомам, поэтому Кэмпбелл, возможно, смог заставить их проделать это, даже не подозревая, что раньше они им не подчинялись. Его идеи были явно близки к цели — и я больше не мог верить, что это всего лишь совпадение, — но в его теории, похоже, не было места для того, что я знал как факт: арифметика была не просто непоследовательной, она была динамической. Можно взять ее противоречия и перегонять их с места на место, как вздутие на ковре.