Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика
Шрифт:
Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.
Горизонтальное масштабирование
Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование
Изменение скорости путем изменения темпа метронома.
Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:
«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса
Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):
Puttin' on the Ritz
Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:
Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.
Вертикальное масштабирование
Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.
Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).
Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).
Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.
Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.
Симметричные аккорды
Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.
В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.
Симметричные звукоряды
В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.
Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:
В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй — с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.
Второй лад — уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает три транспозиции.
Третий лад образован последовательностями тон — полутон — полутон, состоит из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.
Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон — полутон — полтора тона (3 полутона) — полутон, шесть транспозиций.
Пятый лад образует две симметричные группы из четырех звуков: полутон — два тона — полутон и допускает шесть транспозиций.