Трактат о принципах человеческого знания

Беркли Джорж

124. Каждое отдельное конечное протяжение, которое может служить предметом нашего мышления, есть идея, существующая лишь в нашем уме, и, следовательно, любая его часть должна быть воспринимаема. Если поэтому я не могу воспринять бесконечное множество частей в каком-либо конечном, рассматриваемом мной, протяжении, то несомненно, что они в нем не содержатся; но очевидно, что я не в состоянии различить бесчисленное множество частей в отдельной линии, поверхности или теле, воспринимаю ли я их в ощущении или представляю себе в моем уме, из чего заключаю, что они не содержатся там. Ничто не может быть для меня яснее того, что рассматриваемые протяжения суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить какую-либо из своих идей на бесконечное число других идей, т.е. что они не делимы до бесконечности. Если под конечным протяжением подразумевается нечто отличное от конечной идеи, то я объявляю, что не знаю, что это такое, и, следовательно, не могу ни утверждать, ни отрицать чего-либо о нем. Но если термины «протяжение», «части» и т.п. берутся в понятном смысле, т.е. в смысле идей, то сказать, что конечная величина или конечное протяжение состоит из частей бесконечных по числу, есть столь явное и вопиющее противоречие, что каждый с первого взгляда признает его за таковое; и невозможно, чтобы с этим мнением когда-либо согласилось какое-нибудь разумное существо, если только оно не будет подготовлено к нему постепенными незначительными переходами, как новообращенный язычник к вере в пресуществление. Старые и закоренелые предрассудки часто приобретают значение принципов, а такие положения, которые раз приобрели силу и значение принципов, не только сами, но вместе с ними и все то, что может быть из них выведено, считаются изъятыми из исследования. И нет такой бессмыслицы, которая не могла бы быть принята, если ум таким образом к ней подготовлен.

125. Тот, чей ум находится под господством учения об абстрактных общих идеях, легко может быть убежден в том, что (как бы ни мыслить об идеях ощущений) абстрактное протяжение делимо до бесконечности. И всякий, кто полагает, что ощущаемые предметы существуют вне духа, не затруднится утверждать, что линия длиной всего в дюйм может заключать в себе бесчисленное множество частей, которые действительно существуют, хотя слишком малы, чтобы быть различаемы. Эти заблуждения укоренились в умах как геометров, так и прочих людей и оказывают одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как доказательства, употребляемые геометрией в подтверждение бесконечной делимости протяжения, основываются на этих заблуждениях. Но об этом, если то окажется необходимым, мы можем найти удобный случай поговорить особо. Теперь мы только в целом укажем, почему все математики так преисполнены этим учением и упорны в нем.

§126-156

126. Было замечено в другом месте (§15 Введ[ения]), что теоремы и доказательства геометрии касаются общих идей, причем было объяснено, в каком смысле это следует понимать, а именно в том, что отдельные линии и фигуры в чертеже предполагаются заменяющими бесчисленное множество других линий и фигур различной величины, или, иными словами, геометр рассматривает их, отвлекая от них величины, что подразумевает не то, что он образовал абстрактную идею, а только то, что он не заботится о величине, в частности велика ли она или мала, но считает это безразличным для доказательства. Отсюда следует, что о линии, имеющей на чертеже всего один дюйм длины, надо говорить так, как будто она содержит девять тысяч частей, поскольку она рассматривается не сама по себе, но как общая; но она обща лишь по значению, поскольку она собой представляет бесчисленные линии, большие, чем она, в которых можно различить десять тысяч и более частей, хотя они могут быть не длиннее дюйма. Таким путем свойства обозначенных линий по весьма обычному приему переносятся на знак и потому по заблуждению как бы мыслятся принадлежащими ему в силу его собственной природы.

127. Так как нет такого большого числа частей, чтобы не могло быть линии, которая содержала бы их еще более, то говорится, что линия в дюйм длиной содержит частей более всякого данного их числа, что справедливо, но относительно не дюйма, как такового, а только того, что им обозначается. Но люди, не соблюдая этого различия в своих мыслях, подпадают под убеждение, будто небольшая данная линия, начертанная на бумаге, заключает как таковая, бесконечное число частей. Нет такой вещи, как десятитысячная часть дюйма, но есть десятитысячная часть мили или диаметра земли, которые могут быть обозначены этим дюймом. Когда я поэтому черчу на бумаге треугольник и приму величину одной из его сторон, которая не длиннее дюйма, равной радиусу (Земли), то я предполагаю ее разделенной на десять, на сто и более тысяч частей; ибо хотя десятитысячная часть этой линии, рассматриваемая сама по себе, есть ничто и ею, следовательно, можно пренебречь без всякой погрешности или неудобства, но так как эти начертанные линии суть лишь знаки, заменяющие большие величины, десятитысячная часть которых может быть весьма значительная, то отсюда следует, что во избежание заметных ошибок на практике радиус должен быть признан содержащим в себе 10 000 или более частей.

128. Из сказанного ясно, почему для сообщения теоремам всеобщего применения мы должны говорить о начертанных на бумаге линиях так, как будто они содержат части, которых в действительности не имеют. Поступая таким образом, мы при точном исследовании найдем, быть может, что не в состоянии представить себе сам дюйм состоящим из тысячи частей или делимым на тысячу частей, а относим это представление к некоторой другой линии, которая гораздо больше дюйма и обозначается им, и что, говоря, будто линия делима до бесконечности, мы подразумеваем (если только действительно что-либо подразумеваем) бесконечно большую линию. В сказанном заключается, по-видимому, главная причина того, почему в геометрии признается необходимым предположение бесконечной делимости конечного протяжения.

129. Многочисленные нелепости и противоречия, вытекающие из этого ложного принципа, могли бы каждое служить, как представляется, доводами против него. Но я не знаю, на основании какой логики признается, что доказательства a posteriori не допустимы против положений, касающихся бесконечности, как будто даже бесконечный дух не в состоянии разрешить противоречия или будто что-либо нелепое и противоречивое может быть в необходимой связи с истиной или вытекать из нее. Но если кто бы то ни было рассмотрит шаткость этого притязания, то он придет к мысли, что оно было изобретено в угоду вялости ума, которому более приятно успокоиться на ленивом скептицизме, чем взять на себя труд подвергнуть строгому исследованию те принципы, которые он постоянно признавал за истинные.

130. Умозрения относительно бесконечных величин достигли в новейшее время таких размеров и выродились в столь странные понятия, что послужили поводом к немалым сомнениям и спорам среди современных геометров. Некоторые из них, имеющие громкое имя, не довольствуются мнением, будто конечные линии могут быть делимы на бесконечное число частей, но утверждают далее, что каждая из этих бесконечно малых частей в свою очередь делима на бесконечное число других частей или бесконечно малых величин второго порядка, и т.д. ad infinitum. Они утверждают, говорю я, что существуют бесконечно малые части бесконечно малых частей и т. д. без конца; так что, по их мнению, один дюйм содержит не только бесконечное число частей, но бесконечность бесконечности частей ad iufinitum. Другие утверждают, что все порядки бесконечно малых величин ниже первого порядка суть ничто, основательно считая нелепым предположение, будто существует какое-либо положительное количество или часть протяжения, которая, даже будучи бесконечно умноженной, никогда не сравнится с наименьшим данным протяжением. А, с другой стороны, не менее нелепым кажется мнение, будто квадрат, куб или другая степень положительного реального основания есть, как таковая, ничто, как это должны утверждать те, которые признают бесконечно малые величины первого порядка, отрицая высшие их порядки.

131. Не вправе ли мы отсюда заключить, что и те и другие ошибаются и что в действительности нет такой вещи, как бесконечно малые части или бесконечное число частей, содержащееся в конечной величине? Вы, однако, скажете, что если принять это мнение, то окажется, что сами основания геометрии будут подорваны и что те великие люди, которые возвели эту науку на такую изумительную высоту, все в конце концов строили лишь воздушные замки. На это можно возразить, что все полезное в геометрии и идущее на пользу человеческой жизни остается прочным и непоколебленным и при наших принципах, что наука, рассматриваемая с точки зрения практической, извлечет больше пользы, чем вреда, из того, что сказано. Но верное освещение этого вопроса и обнаружение того, каким образом линии и фигуры могут быть измеряемы и их свойства исследуемы без предположения бесконечной делимости конечного протяжения, может составить надлежащую задачу особого исследования. В конце концов если бы даже оказалось, что некоторые из самых запутанных и утонченных частей умозрительной математики могут отпасть при этом без всякого ущерба для истины, то я не вижу, какой вред произойдет от того для человечества. Напротив, было бы я полагаю, в высшей степени желательно, чтобы люди величайших дарований и упорнейшего прилежания отвратили свои мысли от этих забав и употребили их на изучение таких вещей, которые ближе касаются нужд жизни и оказывают более прямое влияние на нравы.

132. Если говорят, что некоторые, несомненно истинные, теоремы были открыты при помощи методов, в которых применяются бесконечно малые величины, что было бы невозможно, если бы существование последних заключало в себе противоречие, то я отвечаю, что при тщательном исследовании окажется, что ни в каком случае не необходимо пользоваться бесконечно малыми частями конечных линий или вообще количеств или представлять их себе меньшими, чем minimum sensibile; скажем более: очевидно, что иначе никогда и не делается, ибо делать это невозможно. И что бы математики ни думали о флюксиях, дифференциальном исчислении и т. п., небольшого размышления достаточно для убеждения в том, что, следуя этим методам, они не представляют себе или не воображают линий или поверхностей меньших, чем воспринимаемые в ощущениях. Они, конечно, если им угодно, могут называть эти малые и почти неощущаемые количества бесконечно малыми или бесконечно малыми частями бесконечно малых; но в конце концов этим все и исчерпывается, так как эти количества в действительности конечны, и решение задач не требует какого-либо иного предположения. Но об этом будет более ясно сказано впоследствии.

133. Из сказанного ясно, что весьма многие и важные заблуждения порождены теми ложными принципами, которые были нами оспариваемы в предыдущих частях этого трактата, и что мнения, противоположные этим ошибочным учениям, представляются самыми плодотворными принципами, из которых вытекают бесчисленные следствия, в высшей степени благоприятные как для истинной философии, так и для религии. В особенности материя, т.е. безусловное существование телесных предметов, оказалась тем основанием, на котором самые явные и опасные враги всякого знания, как человеческого, так и божественного, всегда находили свою главную силу и надежду. И точно, если различение действительного существования немыслящих вещей от их воспринимаемости и приписывание им существования самим по себе, вне умов и духов, не может объяснить ни одной вещи в природе, а, напротив, порождает множество неразрешимых затруднений; если предположение о материи шатко, так как в пользу его нельзя привести ни единого довода; если следствия этого предположения не выносят света рассмотрения и свободного исследования, но скрываются под темным общим утверждением непостижимости бесконечного; если вместе с тем устранение этой материи не влечет за собой никаких дурных последствий; если в ней даже нет никакой нужды для мира, а каждая вещь так же легко и даже легче понимается без нее; если, наконец, предположение, что существуют только духи и идеи, приводит навсегда к молчанию и скептиков, и атеистов и совершенно согласуется с разумом и религией, то, я полагаю, мы можем ожидать, что оно будет принято и удержится прочно, хотя оно было предложено лишь как гипотеза, с допущением возможности существования материи, что, мне думается, теперь с очевидностью опровергнуто.