В погоне за красотой
Шрифт:
Снова сформулируем требования независимости совершенно строго.
Пусть у нас есть какая-то группа аксиом — (эта буква обычно используется для обозначения суммы).
Пусть есть какое-то утверждение А.
И противоположное утверждение A [7] .
Тогда А независимо от группы аксиом , если ни само А, ни противоположное утверждение A им не противоречит.
Иначе говоря, с группой аксиом совместимо как суждение А, так и противоположное суждение A.
7
Черточка
Все это очень элементарная логика. Но она, вероятно, непривычна. И потому может показаться очень сложной.
Поэтому поясним все на примере с пятым постулатом.
Мы хотим доказать его независимость от остальных аксиом геометрии Евклида («пятый постулат» сейчас — пример нашего суждения А). Мы высказываем утверждение, противоположное пятому постулату («суждение A»). Например, мы утверждаем: через данную точку к данной прямой можно провести по крайней мере две параллельные прямые. (Для «популярности» постулат, противоположный пятому, будем записывать вверх ногами «
Далее мы доказываем, что «
Это значит, что как бы далеко и широко мы ни развили возможные следствия, мы никогда не придем к логическому противоречию.
Теперь — внимание! До сих пор все очень ясно.
Но, спрашивается, как убедиться, что мы никогда не сможем прийти к противоречию?
Пусть мы доказали двадцать непротиворечивых теорем.
Это не гарантирует нам, что противоречие не выскочит в двадцать первой.
Доказав сто, можно ожидать подвоха в сто первой…
Доказав тысячу… Короче: ясно, что на этом пути никакого строгого доказательства непротиворечивости получить нельзя. Получить же его необходимо. Без этого задача не решена. Но как будто это абсолютно безнадежная задача. Не видно даже других мыслимых путей, кроме того, что мы описывали. А наш путь заведомо и абсолютно безнадежен.
И здесь остановимся и еще раз потребуем внимания.
Во второй половине XIX века, примерно через 20 лет после смерти Лобачевского и Гаусса, был предложен строгий путь доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Путь неожиданный и невероятный.
Мы расскажем о нем позже.
Но ни Лобачевский, ни Гаусс не подозревали о возможностях такого сорта. Запомним: сама возможность принципиально новых идей, с помощью которых можно доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в то время почти столь же невероятна, как возможность определения химического состава звезд.
Столь же немыслима, как опровержение механики Ньютона.
Столь же непредставляема, как термоядерная реакция.
Еще нет ясного представления об аксиоматике. Еще во всех определениях и аксиомах геометрии полный беспорядок, оставшийся в наследство от Евклида.
Почти все из того, что было написано выше, математики еще не сформулировали для себя.
Лишь гениальный Бояи нащупывает правильный путь. Но, боюсь, даже Гаусс не воспринимает полностью его идей.
Есть только полуинтуитивное представление о понятиях независимости и непротиворечивости.
Но тогда…
Тогда ясно, что логически доказать «независимость пятого постулата» вообще невозможно. Как далеко ни протянется непротиворечивая цепочка теорем, полученных при помощи «
Можно, конечно, «с отчаяния» прибегнуть к «чуждому» для математики пути — подглядеть, что дает эксперимент. Окажись, что во вселенной осуществляется «неевклидова геометрия», — вопрос о непротиворечивости отпал бы сам по себе.
Как помните, Гаусс пытался проверить, чему равна сумма углов треугольника. Независимо от него Лобачевский попросил провести подобные же измерения. У Лобачевского объект был выбран даже более удачно. По его просьбе в Казанской обсерватория измерили углы треугольника, вершинами которого были взяты три звезды. Но в обоих случаях сумма углов оказалась равной в пределах ошибок эксперимента.
Этот результат ничего не опровергал потому, что даже если евклидова геометрия не осуществлялась в нашем мире, отклонение от могло быть очень мало.
Но уж тем более он ничего не доказывал.
Итак? Итак, рассуждая строго логически, оставалось одно. Заключить, что вопрос открыт. И вероятно, останется таким навечно. В этом духе и высказался однажды Гаусс. (Разумеется, снова в частном письме.) «Я все более склоняюсь к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть строго доказана. По крайней мере человеческим умом для человеческого ума».
Эту фразу можно прочесть и так. Я не представляю никакой мыслимой возможности доказать, что постулат, обратный пятому («
Задача не решена.
Но если так, то совершенно в духе Гаусса не публиковать своих результатов. Он не может рисковать своей репутацией и печатать работу, в которой он не уверен на сто процентов. А идеи, позволяющей рассечь узел, идеи, решающей все, — такой идеи у него нет. А дальше? Дальше вступают в игру факторы, не связанные с чистой наукой непосредственно.
То один, то другой корреспондент (Швейкарт, Тауринус, Бояи) присылает ему письма, в которых более или менее явно высказывает предположение: доказать пятый постулат нельзя и противоположный постулат не противоречит остальным аксиомам Евклида.
При этом по крайней мере для Швейкарта и Тауринуса эта идея куда более смутна, куда более неуклюже оформлена, чем видит все он — Карл Фридрих Гаусс.
Представьте себя на секунду Гауссом. Не так уж просто ответить совершенно прямо и честно. Не так просто подарить свои идеи какому-то Швейкарту, полностью отказаться от затаенной надежды решить когда-нибудь эту проклятую задачу до конца, объяснить положение, посоветовать — развивайте ваши соображения как можно тщательней, как можно полней, чем больше самых разнообразных следствий и теорем вы получите, опираясь на «