ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– И получился, - сказал Илья, - не кто иной, как сам пкс-третий! Ну, а если его еще и в куб?.. Правильно! Единица получается. Все в порядке.

– Так вот, - продолжал Мнимий, - назовем один из корней из единицы, то есть наш икс-второй, греческой буквой альфа. Тогда пкс-третий, как вы только что выяснили, будет а². А теперь я должен еще отметить, что среди всех корней из единицы (для квадратного корня два, для кубического три, и так далее, то есть пх число совпадает с числом единиц в показателе

корня) имеются такие корни, которые обладают весьма интересным и полезным свойством. Если мы один из таких корней будем возводить последовательно в возрастающие степени, начиная со второй, то получим все остальные корни данной совокупности.

– 447 -

Например, второй и третий корни кубические из единицы (первый, конечно, единица) обладают этим свойством, так что

а₂² = а₃; а₃² = а₂; а₂³ = а₁ = 1.

Если же взять для другого примера все корни шестой степени из единицы, от cti до (Хб, то из них только два (а именно ai и as) обладают этим свойством и называются первообразными корнями. Например, из корней четвертой степени пергообразных только два (a2 и а4), тогда как для пятой степени все корни, не считая первого, равного 1, будут первообразными. Если вписать в единичный круг правильный многоугольник, одна вершина которого лежит в точке с координатами A,0), то можно заметить, что только те его вершины будут давать первообразные корни, которые принадлежат именно этому многоугольнику, но отнюдь не какому-либо другому - с меньшим числом сторон и одной вершиной к точке с координатами A,0). Прошу покорнейше запомнить это правило. Оно нетрудное. А теперь мы можем спова перейти и к формуле Кардана. Если у нас есть уравнение кубическое:

y³ + py + q = 0,

а формулу Кардана напишем в таком сокращенном виде:

то корни нашего уравнения будут таковы:

y₁ = A + B;

y₂ = аαА + α²В;

y₃ = аα²А + α²В;

– Все-таки, - вымолвил опасливо Илюша, - это получается не так-то просто... С квадратным одна минута, а тут...

– Есть и более сложные задачи, а у сложных задач и способы решения довольно хитрые. Да это еще не все! А дальше способен слушать? А то закроем заседание нашей комиссии - и по домам!

– Нет, нет, - взмолился Илюша, - мне хочется все-таки до конца дослушать!

– 448 -

– "До конца"!
– повторил ворчливо Радикс.
– Ты думаете, у этой штуки есть конец? Что касается меня, то я в этом отнюдь не уверен. Так еще немножко проползти можно...

– Поползем!
– ответил Илюша, вздохнув потихонечку.

– Воля твоя, - отвечал Радикс, - только потом чтобы не жаловаться, что, дескать, замучили!

– Не буду жаловаться!
– храбро заявил Илья.

– Тогда слушай дальше, - продолжал Радикс.

– Слушаю!..

– В конце восемнадцатого века замечательный французский математик Лагранж пытался разобраться во всех способах решения уравнений третьей и четвертой степеней. После того как Эйлер нашел сочетания значений двух кубических корней в формуле Кардана, чтобы

получить значения всех трех искомых корней, изучение алгебры комплексных чисел сильно двинулось вперед. Лагранж обратил внимание на то, что любой из двух кубических радикалов в формуле Кардана можно выразить через три корня уравнения при помощи следующей формулы (в зависимости от того, какой корень считается первым, какой - вторым, какой - третьим):

1/3(x₁ + αx₂ + α²x₃)

– Совсем я запутался!
– с огорчением пробормотал Илья.
– Чем эта формула поможет? Откуда взять корни, когда я еще не решил уравнения? Значит, надо сперва воспользоваться формулой Кардана. Какой смысл в этой формуле?..

– Видите ли, - вмешался Мнимий, - вы правы в том отношении, что 13 деле разыскания корней эта формула помочь не может. Но чтобы представить себе, как связаны корни кубического уравнения с его коэффициентами, она в высшей степени полезна.

– Опять не понимаю!
– снова огорчился мальчик.
– Ведь мы же знаем, какие для Кардановой формулы делали два раза подстановки! Разве из этого нельзя вывести, какие получаются соотношения между корнями и коэффициентами?

– Того, что мы знаем о наших подстановках, еще мало.

Потому что те подстановки, которые годятся для кубического уравнения, не подходят для уравнения четвертой степени, а следовательно, это способ не общий. Кроме того, пока самый способ решения нельзя проверить - или, как говорится, проанализировать, - невозможно подойти и к рассмотрению всего вопроса в целом об алгебраических уравнениях. Ведь мало еще догадаться, каково решение, надо дознаться, почему оно такое, а не иное.

– 449 -

– Возьмем квадратное уравнение, - предложил Радикс, - хорошо тебе известное. Что ты скажешь, если я предложу тебе для него такую формулу? Ты с ней согласишься?

x = 1/2[(x₁ + x₂) ± (x₁– x₂)]

– Д-да...
– сказал Илюша неуверенно.
– То есть если припомнить общую формулу квадратного уравнения

(x₁ + x₂)(x₁– x₂) = 0,

потом открыть в ней скобки

x²– (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0,

а затем применить к такому выражению всем известную формулу, для решения квадратного уравнения, то как раз и придешь к твоей формуле. И действительно, она показывает, как формула решения связана с корнями. Но ведь в квадратном уравнении все так просто!

– Боюсь, - вымолвил Мнимий, - что вас пугают эти самые альфы в формуле Лагранжа. Не так ли? А ведь мы о них недавно говорили... Вспомните-ка!

– Говорили...

– А что именно?

– Что с их помощью получаются все значения корней из комплексного числа...

– Разве?
– сказал удивленный Радикс.
– Как же это возможно? Мыслимое ли это дело?

Илюша посмотрел на своего друга укоризненно.

Что-то очень маленькое и беленькое вдруг упало у ног Илюши, а потом пошел целый снег из этих маленьких беленьких... Одна штучка упала Илюше прямо на руку, и он увидал, что на ладошке у него лежит крохотная беленькая альфа. А кругом так и сыплются все новые и новые маленькие беленькие альфы...

А Мнимий посмотрел на эту альфообразную метель и признался: