Вычислительная математика

на главную

Жанры

Поделиться:
Шрифт:

Методы вычислительной математики делятся на точные и приближенные. Точные методы применяются в тех случаях, когда известны расчетные формулы, а также конкретное значение коэффициентов в них.

Существуют ситуации, когда расчетная формула неизвестна, или слишком сложна; величины, которые используются в вычислениях, заданы неявно; коэффициенты, содержащиеся в уравнениях, известны лишь приблизительно. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения решения и оценки степени их точности.

Предлагаются к изучению

простейшие численные модели, решение систем линейных уравнений, численное интегрирование и дифференцирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, методы конечных разностей решения уравнений в частных производных.

Методы вычислительной математики применяются также для поиска экстремального значения целевой функции в оптимизационных задачах, в том числе в нелинейных.

При обработке результатов эксперимента часто возникает задача построения эмпирической формулы, дающей аналитическое выражение функциональной зависимости, заданной таблицей. Для этого пользуются аппроксимацией функций по способу наименьших квадратов.

При использовании численных методов необходимо помнить о физической сущности рассматриваемых математических задач.

Некоторые задачи вычислительной математики можно решить, используя возможности табличного процессора Excel. Практически все задачи вычислительной математики можно решить в среде программного продукта Mathcad.

НАХОЖДЕНИЕ ПОЛИНОМА ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

Для вычисления полинома n-й степени можно использовать схему Горнера: Y=((…((an*x +an– 1)*x + an– 2)*x +… +a2)*x + a1)*x + a0

рекуррентная формула при этом выражается в виде:

i = n Yi = аn Yi – 1= Yi x + ai

Алгоритм метода

Пример программы на языке Pascal

VAR N,I:INTEGER;X,Y:REAL;A:ARRAY[0..10] OF REAL;

BEGIN

WRITE('Введите N=');READLN(N);

WRITE('Введите X=');READLN(X);

WRITELN('Введите коэффициенты:');

FOR I:=0 TO N DO BEGIN

WRITE('A[',I,']=');READLN(A[I]);END;

Y:=A[N];

FOR I:=N-1 DOWNTO 0 DO Y:=Y*X+A[I];

WRITELN('Результат Y=',Y); END.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла. Отрезок (ab) разбивается на определенное число интервалов N, в зависимости от требуемой точности вычисления.

Формула ПРЯМОУГОЛЬНИКА

шаг: h=(b-a)/N

Геометрическая интерпретация метода:

Формула

ТРАПЕЦИИ

шаг: h=(b-a)/N О – показатель точности вычислений

Геометрическая интерпретация метода:

Алгоритм метода трапеций:

Решить задачу:

Методом трапеций найти значение интеграла функции Y = x – Cos(x) в пределах от 0 до 2.

Пример программы (Pascal):

PROGRAM P10;

FUNCTION FUN(X:REAL):REAL;

BEGIN

FUN:=X-COS(X); END;

VAR H,X,Y,A,B:REAL; I,N:INTEGER;

BEGIN

WRITELN('Ввести данные A(0),B(2),N(1000) = ');

READ(A,B,N);

X:=0; Y:=0; H:=(B-A)/N;

FOR I:=1 TO N-1 DO BEGIN

X:=X+H;Y:=Y+FUN(X);END;

Y:=H/2*(FUN(A)+FUN(B)+2*Y);WRITELN('Результат= ',Y);

END.

(Результат для 1000 шагов: 1.09070287627348)

Решить задачу:

Задача. Найдите значение определенного интеграла от функции

на интервале [1; 4], количество разбиений n = 52.

Пример программы на языке Pascal

CONST N = 52; A = 1; B = 4;

VAR Y0, YN, X, S, H: REAL;I: INTEGER;

BEGIN

H := (B-A)/N; Y0 := SQR(LN(A))/A;

YN := SQR(LN(B))/B; S := (Y0 + YN)/2;

FOR I:= 1 TO N-1 DO

BEGIN

X := A + I*H;

S := S + SQR(LN(X))/X

END; S := S*H;

WRITELN (‘ИНТЕГРАЛ РАВЕН ’, S);

END.

Подпрограмма на языке Basic

10 DEF FNA(X)=EXP(-Х*Х)

20 PRINT "N,B0,B9,H1"; : INPUT N,B0,B9,H1

30 C=2/SQR(PI) : A=0 : S1=0

40 FOR B=B0 TO B9 SТЕР H1

50 GOSUB 100

60 S1=S1+S : A=B

70 PRINT B,C*S1 : NEXT В

90 GOTO 10

100 H=(B-A)/N : S1=(FNA(A)+FNA(B))/2

110 FOR I = 1 TO N-1 : S=S+FNA(A+ I *H) : NEXT I

120 S=S*H

190 RETURN

110 REM МЕТОД ТРАПЕЦИИ

120 INPUT . “Входные переменные A,B,N =”;A,B,N

130 H = (B-A)/N

140 S = O

150 X = A

160 FOR I = 1 TO N-1

170 X = X+H

180 S = S + FNY (X)

190 NEXT I

200 S = H*(FNY(A) + FNY(B) + 2*S) / 2

210 RETURN

Подпрограмма на языке Pascal

VAR N,I,K:INTEGER; A,B,B0,B9,H,C,S,S1:REAL;

FUNCTION F(X:REAL):REAL;BEGIN

F:=EXP(-X*X);END;

PROCEDURE TRAP(VAR A,B:REAL;

123

Книги из серии:

Без серии

[5.0 рейтинг книги]
[5.0 рейтинг книги]
[5.0 рейтинг книги]
[5.0 рейтинг книги]
Комментарии:
Популярные книги

Черный Маг Императора 13

Герда Александр
13. Черный маг императора
Фантастика:
попаданцы
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 13

Последняя Арена 4

Греков Сергей
4. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 4

Маяк надежды

Кас Маркус
5. Артефактор
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Маяк надежды

Великий перелом

Ланцов Михаил Алексеевич
2. Фрунзе
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Великий перелом

Сопротивляйся мне

Вечная Ольга
3. Порочная власть
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
6.00
рейтинг книги
Сопротивляйся мне

Инквизитор Тьмы 2

Шмаков Алексей Семенович
2. Инквизитор Тьмы
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Инквизитор Тьмы 2

Мастер Разума V

Кронос Александр
5. Мастер Разума
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Мастер Разума V

Бандит 2

Щепетнов Евгений Владимирович
2. Петр Синельников
Фантастика:
боевая фантастика
5.73
рейтинг книги
Бандит 2

Истребители. Трилогия

Поселягин Владимир Геннадьевич
Фантастика:
альтернативная история
7.30
рейтинг книги
Истребители. Трилогия

Гардемарин Ее Величества. Инкарнация

Уленгов Юрий
1. Гардемарин ее величества
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
альтернативная история
аниме
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Гардемарин Ее Величества. Инкарнация

Падение Твердыни

Распопов Дмитрий Викторович
6. Венецианский купец
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.33
рейтинг книги
Падение Твердыни

"Дальние горизонты. Дух". Компиляция. Книги 1-25

Усманов Хайдарали
Собрание сочинений
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Дальние горизонты. Дух. Компиляция. Книги 1-25

Ох уж этот Мин Джин Хо 2

Кронос Александр
2. Мин Джин Хо
Фантастика:
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Ох уж этот Мин Джин Хо 2

Энфис 6

Кронос Александр
6. Эрра
Фантастика:
героическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 6