Жизнь науки
Шрифт:
Это исследование принесло весьма большую помощь при разложении дробных функций на вещественные множители; этот вопрос я рассмотрел подробнее, так как такое разложение совершенно необходимо в интегральном исчислении. Далее я подверг изучению бесконечные ряды, которые возникают из разложения функций этого рода и носят название рекуррентных. Здесь я вывел как их суммы, так и общие члены, а также другие замечательные их свойства; так как к этому привело разложение на множители, то я разобрал и обратную проблему, каким образом произведения многих, даже бесконечного числа, множителей путем перемножения развертываются в ряды. Это не только открывает путь к изучению бесчисленного количества рядов; так как этим способом можно разлагать ряды в произведения из бесконечного числа сомножителей, то я нашел довольно удобные числовые выражения для нахождения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Кроме того, я вывел из того же источника
Такое разнообразие материала легко могло разрастись на много томов; но я дал все, по мере возможности, настолько сжато, что всюду излагается— весьма, впрочем, ясно — лишь основное; более же подробная разработка предоставляется трудолюбию читателей, дабы они имели на чем упражнять свои силы, чтобы еще шире раздвинуть границы анализа. Не боюсь открыто заявить, что в этой книге не только содержится много совершенно нового, но также указаны источники, откуда можно черпать многие значительные открытия.
Точно так же я поступил и во второй книге, где исследовал вопросы, обычно относимые к высшей геометрии. Однако прежде чем приступить к коническим сечениям, к которым в других курсах обычно сводится вся эта часть, я изложил теорию кривых линий вообще, которая затем могла бы быть с пользой применена для изучения природы каких бы то ни было кривых линий. При этом я не пользуюсь никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии, и показываю, как из этого уравнения можно вывести как вид кривой, так и ее основные свойства. Это особенно важно, как мне кажется, в применении к коническим сечениям, которые до сих пор изучались либо только при помощи геометрии, либо хотя и при помощи анализа, но весьма несовершенным и неестественным путем. Сперва я изложил общие свойства линий второго порядка, исходя из общего уравнения для этих линий; затем подразделил их на роды или виды, руководствуясь тем, имеют ли они ветви, уходящие в бесконечность, или же кривая заключена в конечном промежутке. В первом случае пришлось, сверх того, принять во внимание, сколько ветвей уходит в бесконечность и какова природа каждой из них, а также имеют ли они асимптотические прямые или нет. Так я получил три обычных вида конических сечений, из коих первый — эллипс, целиком заключенный в конечном промежутке, второй — гипербола, имеющая четыре бесконечные ветви, стремящиеся к двум асимптотическим кривым; третьим же видом является парабола, имеющая две бесконечные ветви, у коих отсутствуют асимптоты.
Далее, я сходным образом подверг исследованию линии третьего порядка, которые, изложив их общие свойства, я разделил на 16 родов, отнеся к этим родам все 72 вида, найденные Ньютоном. Самый же метод я настолько отчетливо описал, что деление по родам можно осуществить без труда для каждого из последующих порядков линий. Соответствующий опыт я и проделал применительно к линиям четвертого порядка.
Покончив с этими исследованиями, относящимися к порядку линий, я вернулся к описанию общих свойств всех линий. Я изложил метод определения касательных к кривым, их нормалей, а также и самой кривизны, выражаемой через радиус соприкасающегося круга. Все эти вопросы в настоящее время по большей части решаются с помощью дифференциального исчисления; однако я изложил их здесь только на основе общей алгебры, дабы сделать затем более легким переход от анализа конечных величин к анализу бесконечно малых. Я исследовал также точки перегиба кривых, угловые, двойные и кратные точки и изложил способ, при помощи которого все эти точки могут быть найдены из уравнений без всякого труда. Впрочем, я не отрицаю, что эти вопросы значительно легче разрешаются с помощью дифференциального исчисления. Я коснулся также спорного вопроса об угловой точке второго порядка в случае, когда обе дуги, сходящиеся в угловой точке, имеют кривизну, обращенную в одну и ту же сторону, и изложил этот вопрос так, что впредь он уже не может вызывать каких-либо сомнений.
Затем я прибавил несколько глав, в которых показываю, как найти кривые линии, обладающие заданными свойствами, и, наконец, дал решение ряда задач, касающихся отдельных рассечений круга.
Таковы те отделы геометрии, которые, по-видимому, наиболее полезны для изучения анализа бесконечно малых. В качестве приложения я изложил еще из области стереометрии вычислительную теорию тел и их поверхностей и показал, каким образом природа каждой поверхности мо-. жет быть выражена уравнением с тремя переменными. Разделив затем, подобно линиям, и поверхности на порядки сообразно числу измерений, которые имеют переменные в уравнении, я показал, что в первом порядке содержится только плоская поверхность. Поверхности же второго по-рядка, приняв во внимание части, простирающиеся в бесконечность, я разделил на шесть родов. Подобным же образом может быть произведено, деление и для остальных порядков. Я подверг рассмотрению также и линии пересечения двух поверхностей; так как эти линии по большей части кривые, не лежащие в одной плоскости, я показал, как такие кривые могут быть выражены уравнениями. Наконец, я определил положение касательных плоскостей и прямых, являющихся нормалями к поверхностям.
Впрочем, так как многое, здесь встречающееся, описывалось уже другими, то мне надлежит просить снисхождения в том, что не везде я почтил упоминанием тех, кто до меня работал в этой области. Моей задачей было изложить все как можно короче; история же каждой проблемы сильно увеличила бы объем труда. Однако многие вопросы, решение которых можно найти также в иных местах, здесь разрешены исходя на других принципов; таким образом, немалая часть приходится и на мою долю. Надеюсь, что как это, так особенно и то совершенно новое, что. здесь сообщается, будет принято с благодарностью большинством тех, кто находит вкус в этих занятиях.
Д. БЕРНУЛЛИ
К семейству Бернулли принадлежит ряд ученых, занимающих видное место в развитии математики и физики на рубеже XVII и XVIII веков. Происходящие из семьи состоятельных голландских купцов Бернулли переехали в Базель еще в XVI веке. Два старших брата, Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), наиболее известны работами в области анализа и теории вероятностей. Сыновья Иоганна Николай (1695— 1726) и Даниил, родившийся в Гронингене, учились вместе с Эйлером и вместе с ним были приглашены в Академию наук в С.-Петербурге. Основанная Петром I Петербургская Академия в ту пору стала замечательным научным центром, а ее Комментарии, в первую очередь благодаря трудам Эйлера и Бернулли, привлекли к себе внимание всей ученой Европы.
Старший брат, Николай Бернулли, вскоре после прибытия в Петербург умер. Даниил, младший и более известный из двух братьев, работал в России в течение восьми лет, и именно в это время им была написана «Гидродинамика». Бернулли также работал в области анализа; в теории вероятностей им введено понятие морального ожидания. Но, может быть, наиболее значительными после работ по гидродинамике (термин, предложенный Бернулли) были исследования по механике, в первую очередь, по теории колебаний,
В 1733 г. Даниил Бернулли вернулся в родной Базель, где стал сначала профессором анатомии и ботаники, затем — физики. Он получил 10 премий Парижской Академии наук. Даниил Бернулли умер в возрасте 82 лет, оставив свою кафедру только за 5 лот до смерти.
Мы приводим краткое предисловие к «Гидродинамике» (1738). В этом замечательном сочинении были даны физические основы механики жидкости, оказавшие очень большое влияние на развитие этой области физики. В 10-й главе «Гидродинамики» Бернулли также четко сформулировал основные идеи кинетической теории газов. К сожалению, эти идеи были забыты и предложены вновь уже только в XIX веке, а затем развиты в трудах Клаузиуса и Максвелла.
Наконец, выходит в свет наша «Гидродинамика», после того как были преодолены все препятствия, задерживающие ее напечатание в течение почти восьми лет; возможно, что ей и не привелось бы увидеть света, если бы вся эта работа пришлась исключительно на мою долю. Я охотно объявляю, что главнейшая часть этой работы обязана руководству, замыслам и поддержке со стороны Петербургской Академии наук. Повод для написания этой книги дало постановление Академии, в котором первых профессоров, собравшихся для ее создания, обязали и затем определенно побуждали, чтобы они писали рассуждения на какую-нибудь полезную и, насколько возможно, новую тему. Всякий легко согласится с тем, что теория о силах и движениях жидкостей, если только она не создана против воли Минервы, не является ни бесполезной, ни тривиальной. Для того чтобы рассеять скуку у читателя, я подверг рассмотрению разнообразные вопросы, в особенности в последних пяти частях, а также включил примеры аналитические, физические, механические как теоретические, так и практические, некоторые геометрические, мореходные астрономические и иные. Введение таких примеров представляется мне не только допустимым, но прямо вытекающим из существа предпринятой работы. Беспристрастный и сведущий в этих вопросах читатель легко исправит ошибки, которые могли проскочить при спешке. Настоящая моя работа преследует единственную цель: принести пользу Академии, все усилия которой направлены к тому, чтобы содействовать росту и общественной пользе благих наук.