200 занимательных логических задач

Гусев Дмитрий Алексеевич

191. Если один арбуз в 1, 5 раза шире другого, то по объему он больше него в 1, 5 x 1, 5 x 1,5 = 3, 375 раз (ведь увеличение объема тела соответствует кубическому увеличению его линейных размеров). Таким образом, больший по размеру арбуз почти в 3, 4 раза объемнее своего соседа, а стоит он только в 2 раза дороже, поэтому выгоднее купить более крупный арбуз.

192. Рассуждение содержит логическую ошибку, которая заключается в том, что выделяющийся среди неинтересных людей какой-нибудь «самый…» человек считается на этом основании интересным, ведь интересный среди неинтересных и интересный на самом деле (т. е. изначально отнесенный в группу интересных) –

это совершенно различные объекты, которые в рассуждении неправомерно отождествляются. В этом отождествлении нетождественных изначально понятий, или в подмене одного понятия другим и заключается ошибка, которая сразу, однако, не заметна и поэтому создает видимость правильности предложенного рассуждения.

193. На первый взгляд кажется, что вертолет должен приземлиться там же, откуда и вылетел, ведь он двигался по контуру квадрата. Однако это не так. Надо принять во внимание шарообразность Земли. Когда вертолет летел на север, он двигался по меридиану, далее, летя на восток, он двигался по параллели, потом – опять по меридиану, и, наконец, – снова по параллели. Меридианы Земли сближаются к северу, поэтому участок северной параллели, заключенный между двумя соседними меридианами, короче участка параллели, расположенного южнее. Таким образом, вертолет двигался не по контуру квадрата, а примерно по контуру трапеции, и поэтому он приземлился восточнее места своего вылета.

194. На одной стороне кубического метра находится 1000 миллиметровых кубиков, ведь 1 м = 100 см = 1000 мм. Значит, кубический метр включает в себя 1000 x 1000 x 1000 = 1 млрд. миллиметровых кубиков. Поставленные друг на друга, все эти кубики образуют столбик высотой в 1 млрд. миллиметров, или в 1 млн. метров, или в 1000 километров.

195. Часовая и минутная стрелки могут расположиться на одинаковом расстоянии от цифры VI (равно как и от любой другой цифры) в каком угодно часу, потому что минутная стрелка, каждый час догоняя и обгоняя часовую, последовательно проходит все точки циферблата и поэтому один раз каждый час бывает на одном и том же с часовой стрелкой расстоянии от любой его точки. (См. также задачу 102).

196. Построим из имеющихся 12 спичек треугольник со сторонами в три, четыре и пять спичек. Такой треугольник обязательно будет прямоугольным, ведь 3² + 4² = 5². Площадь этого треугольника равна половине произведения его основания на высоту: 1/2 х 3 х 4 = 6, т. е. шести «спичечным» квадратам. После этого переложим три спички, уменьшая площадь треугольника на два «спичечных» квадрата. В результате получится фигура с площадью в четыре «спичечных» квадрата.

197. Из точки В надо построить окружность радиусом АВ. Затем по этой окружности следует отложить от точки А расстояние АВ три раза, в результате чего получится точка С, которая диаметрально противоположна точке А. Значит, расстояние АС есть двойное расстояние АВ. Далее надо построить окружность из точки С радиусом ВС и точно так же найти точку Д, диаметрально противоположную точке В и, следовательно, удаленную от А на тройное расстояние АВ. Таким способом можно увеличить расстояние между двумя данными точками в любое число раз с помощью одного только циркуля.

198. На

первый взгляд может показаться, что кружки одинаковы по вместительности, ведь одна во столько же раз выше, во сколько другая шире. Однако в данном случае высоту и ширину нельзя столь просто сопоставлять. Вместительность кружек связана с их объемом. Объем же любого цилиндрического тела вычисляется по формуле R²h, где R – радиус основания цилиндра, а h – его высота. Если первая кружка вдвое выше другой, то ее объем будет равен R²2h. Вторая кружка, которая вдвое шире, имеет объем (2R)²h = 4R²h. Сократим выражения, обозначающие объемы кружек на R²h, тогда в первом случае получится 2, а во втором 4, т. е. вторая кружка имеет в два раза больший объем и, следовательно, в два раза вместительнее первой.

199. Секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999 очень прост: предложенное вам число надо уменьшить на единицу и приписать к нему справа три числа, которые будут «дополнениями» первых трех чисел до девятки, в результате чего получится шестизначное число. Например:

Эта особенность числа 999 заключается в том, что его можно представить как 1000 – 1:

Фокус можно разнообразить, если разложить 999 на множители:

999 = 9 x 111 = 3 x 9 x 37 = 27 x 37

Теперь вы якобы «произвольно» называете собеседнику шестизначное число (которое, конечно же, должно быть кратно 999, т. е. должно обладать вышеописанной особенностью, например, 875 124) и уверяете его, что оно поделится без остатка на 37. Он производит деление, и действительно получается без остатка. Далее вы гарантируете ему, что полученный результат будет делиться без остатка на 27. Собеседник совершает деление, которое вновь проходит без остатка. Более того, вы заранее знаете конечный результат. В данном случае вам могут заметить, что шестизначное число было вами заранее подготовлено, на что вы выражаете готовность сходу писать целые колонны произвольных шестизначных чисел (конечно же, якобы «произвольных»), которые обязательно будут делиться без остатка на 37 и на 27 (а также – на три, девять и сто одиннадцать).

200. Можно сразу предположить, что вершины дерева улитка достигнет через 15 суток. Однако такой ответ неверен. Улитка заползет на вершину дерева через 10 суток и 1 день, или через десять с половиной суток. В течение первых 10 суток после начала своего путешествия она поднимется на 10 метров, по 1 метру в сутки. В течение следующего одного дня, она преодолеет еще 5 метров, т. е. достигнет вершины дерева.

Литература

1. Вуджек Т. Тренировка ума. Упражнения для развития повышенного интеллекта. Пер. с англ. Л. Царук. Спб.: Питер Пресс, 1996.

2. Вчерашний Р.И. Пошевели мозгами! Головоломки, розыгрыши, причуды, фокусы. Кострома: «Кострома», РИО, 1999.

3. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. М.: Просвещение, 1996.

4. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.: Наука, 1978.

5. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. 10-е издание. М.: Наука, 1974.