200 занимательных логических задач

Гусев Дмитрий Алексеевич

155. Может показаться, что круги на воде от камня, брошенного в быструю реку, будут вытягиваться в направлении течения и иметь форму эллипсов. В действительности это не так. На поверхности реки волны будут иметь круговую форму, как и на неподвижной водной поверхности. Когда вода течет, то перемещается каждая ее точка, и происходит то, что в геометрии называется «параллельным переносом»: любая фигура перемещается на новое место, но сама нисколько не меняется (круги остаются кругами).

156. Кажется, что такого числа, кроме нуля, не существует. На самом же деле оно есть. Это произведение всех чисел. Вопрос задачи сформулирован так, что побуждает нас искать какое-то конкретное, определенное и конечное число. Но в данном вопросе нет никакого подвоха. Когда мы пытаемся найти определенное число, то сами ставим себя в некие рамки, ограничивая

или суживая диапазон своего поиска, ведь числом является любая величина, в том числе и неопределенная, и бесконечно большая. Произведение всех чисел – это тоже число, только бесконечно большое. Такое число, разумеется, делится на все числа (т. е. на все свои множители) без остатка.

157. На первый взгляд такое расположение людей невозможно, ведь 24: 6 = 4, т. е. в каждом ряду может быть по 4, а не по 5 человек. Однако в условии задачи ничего не сказано о расположении искомых рядов, следовательно, оно может быть произвольным. Людей можно расположить так:

158. Если внимательно прочитать условие задачи, то можно заметить, что отец в будущем никогда не будет в шесть раз старше сына, потому что такое соотношение их возрастов могло быть только в прошлом. Однако задачу вполне можно решить, не замечая этой особенности, с помощью простого уравнения. Примем искомый срок за x. Тогда спустя этот срок отцу будет 32 + x лет, а сыну 5 + x лет. Так как отец в это время должен быть в шесть раз старше сына (по условию), то можно составить уравнение:

32 + x = 6 (7 + x)

преобразуем:

32 + x = 42 + 6x

32 – 42 = 6x – x

– 10 = 5x

x = – 10 : 5

x = – 2

Результат решения уравнения на первый взгляд получается довольно странным: отец будет старше сына в шесть раз через «минус два года». На самом же деле ничего странного нет: через «минус два года» означает не что иное, как «два года назад». И действительно, два года назад отцу было 30 лет, а сыну 5 лет, и первый был в шесть раз старше второго. Как то ни удивительно, но уравнение оказалось «внимательнее» нас, «заметив» то, чего не заметили мы.

159. С перчатками дело обстоит не так просто, как с носками, ведь они отличаются друг от друга не только цветом, но еще и тем, что половина из них – правые, а половина – левые. Чтобы с гарантией получить совпадающую пару, надо достать из шкафа 21 перчатку. Если извлечь меньшее количество, например, 20 перчаток, то может получиться, что все они будут на одну и ту же руку (10 серых левых перчаток и 10 черных тоже левых).

160. Может показаться, что нужно совершить миллионы делений тетрадной странички, чтобы она стала размером с атом. На самом же деле надо будет сделать намного меньше делений. Любое последовательное удвоение (в сторону увеличения или уменьшения) – это последовательное возведение 2 в степень: 2¹ = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16 и т. д. (увеличение) или 2^{– 1} = 1/2 ; 2^{– 2} = 1/4 ; 2^{– 3} = 1/8; 2^{– 4} = 1/16 и т. д. (уменьшение). Даже устно можно вычислить, что 2¹⁰ 1000 и 2^{– 10} 1/1000 или, что то же самое, 2¹⁰ 10³ и 2^{– 10} 10^{– 3}. Если 10^{– 24} (примерный вес атома) в восемь раз меньше, чем 10^{– 3} и, как мы уже выяснили, 10^{– 3} 2^{– 10}, то 10^{– 24} 2^{– 80}. Последовательное же возведение 2 в отрицательную степень – это не что иное, как последовательное деление пополам (см. выше). Значит, потребуется примерно всего 80 последовательных делений тетрадной странички пополам для того, чтобы она превратилась в частицу атомных размеров.

161. Не подумав, можно сразу ответить, что игрушечный кирпичик весит 2 кг, т. е. вдвое меньше. Однако он не только вдвое короче, чем настоящий кирпич, но и вдвое уже, а также вдвое ниже. Следовательно, его объем и вес меньше в 2 x 2 x 2 = 8 раз. Значит, игрушечный кирпичик весит 4 кг: 8 = 0,5 кг.

162. На первый взгляд может показаться, что определить высоту башни по ее фотоснимку невозможно.

Однако это не так. Если фотография верно передает пропорции изображенных на ней объектов, то высота башни на фотографии во столько же раз больше ее основания, во сколько раз ее реальная высота больше ее реального основания. Значит, необходимо измерить длину основания и высоту башни на фотографии, а также – длину реального основания. Последнее измерение можно сделать с помощью рулетки если башня прямоугольная; если же она круглая, то длину окружности ее основания можно измерить с помощью шнура или той же рулетки, а потом найти диаметр основания, разделив длину окружности на число «пи». Зная все эти величины легко вычислить действительную высоту башни. Допустим, высота и длина основания башни – это, соответственно a и b, а реальные высота и длина основания – это x и y. В этом случае имеем:

163. Поначалу кажется, что это число 1111. И действительно, какое же еще большее число можно изобразить с помощью четырех единиц, не употребляя при этом никаких знаков действий? Однако число, большее 1111 во много раз – это 11¹¹.

164. Это утверждение верно. Трехногий стол всегда будет касаться поверхности, на которой он стоит, концами трех своих ножек, потому что (вспомните геометрию) через каждые три точки пространства проходит только одна плоскость (как и через две точки проходит только одна прямая). Именно поэтому стол с тремя ножками никогда не качается. Четвертая ножка не сделала бы его устойчивее и даже наоборот: пришлось бы всякий раз заботиться о том, чтобы стол с четырьмя ножками не качался, подкладывая под них различные выравнивающие предметы. По этой же причине для устойчивости землемерных и фотографических приборов используют треноги. Как видим, данная задача не физическая (как может показаться), а геометрическая.

165. Обычно кажется, что линия горизонта находится на уровне наших глаз. Однако это впечатление обманчиво. На самом деле линия горизонта расположена ниже уровня глаз, о чем свидетельствует простой схематический рисунок.

Кроме того, даже если бы земля была не шарообразной, а плоской, то линия горизонта все равно находилась бы ниже уровня глаз наблюдателя.

То, что она располагается на уровне глаз – иллюзия. Причем, когда мы поднимаемся над земной поверхностью (например, на воздушном шаре), то кажется, что линия горизонта остается на уровне глаз, т. е. как бы поднимается вместе с нами.

166. Наименьшее целое положительное число, которое можно написать двумя цифрами, не употребляя никаких знаков действий, – это не 10 (как можно предположить), а единица, представленная в виде 1¹, 1², 1³ и т. д. до 1⁹, а также 1⁰, 2⁰ и т. д. до 9⁰ (т. к. любое число в нулевой степени равно единице).

167. Предположение, что угол будет казаться величиной в 8°, неверно. Величина угла никак не изменится при рассматривании его через увеличительное стекло. В этом случае увеличится длина дуги, стягивающей угол, и во столько же раз увеличится радиус этой дуги.

168. Кажется, что при понижении температуры всего на 1° укорочение проволоки и ее углубление в землю будет минимальным, фактически незаметным. Однако это не так. Когда проволока стала короче, уменьшилась длина окружности, стягивающей земной шар, следовательно, уменьшился и ее радиус. Очевидно, что величина уменьшения радиуса и есть величина углубления проволоки в землю. Если длина экваториальной проволоки – 40 000 000 м, то при ее охлаждении на 1°, она укоротилась на 400 м (см. условие задачи). Насколько при этом уменьшится радиус данной проволочной окружности? Вспомним, что радиус любой окружности всегда в 2 или в 6,28 раз меньше ее длины (L = 2R). Значит, если длина окружности уменьшилась на 400 м, то ее радиус стал меньше на 400: 6, 28 64 м. Таким образом, проволока углубится в землю примерно на 64 м, а не на несколько миллиметров, как может показаться.