Антология реалистической феноменологии
Шрифт:
На это нам невозможно возразить, что вращением прямой С мы снова ввели движение; ведь вращающаяся прямая представляет не что иное, как пучок лучей, который исходит из точки О.
Возьмем какую-нибудь кривую линию, например, окружность. Как известно, в каждой точке окружности можно провести касательную, причем можно провести столько касательных, чтобы окружности не была «искривлена» ни в одной точке самой себя. Стало быть, где она тогда искривляется? Совершенно очевидно, что мы снова сталкиваемся с неискоренимой проблемой стрелы – а именно: «где» движется движущееся и как оно вообще движется, когда оно не движется ни в одной точке своего пути? Здесь в случае с окружностью, так же, как и в аргументе Зенона, можно найти выход из положения в отношении данной точки с непосредственно соседней или непосредственно следующей за ней в столь же малой мере (как это сделал Эвеллин), а именно попросту потому, что такой непосредственно соседней или следующей точки вообще нет. Тотчас же перед нами встает проблема «дихотомии», так как кажется невозможным перейти от начального положения к непосредственно следующему, поскольку такого следующего вообще не существует. Итак, как возможно движение?
§ 10. Бесконечное – Декарт
Ранее мы видели, что аргументы Зенона относятся ко всем проблемам и ко всем фундаментальным концепциям геометрии – теперь мы увидим, что они точно так же относятся к арифметике, и что, так сказать, невозможно сделать ни шага в сфере математики, чтобы не столкнуться с «дихотомией». Поскольку аргументы Зенона основываются на очевидных затруднениях, связанных с понятием бесконечного, в этом, собственно, нет ничего удивительного. Мы должны встречать затруднения повсюду, где мы сталкиваемся с концепцией бесконечности – но она находится, так сказать, повсюду, особенно в математике, собственную основу которой она представляет. Следовательно, если мы хотим всерьез признать само по себе противоречие, которое присуще понятию бесконечности, то мы должны также единым махом перечеркнуть все математические науки и осудить не только теорию функций и исчисление бесконечно малых, но также всю Эвклидову геометрию и арифметику.
Но действительно ли понятие бесконечного само по себе противоречиво? Это часто утверждалось, и здесь можно было бы использовать аргументы Зенона в качестве доказательства. Говорилось, что невозможно постичь бесконечное, т. е. незаконченное как актуально наличное, продолжающееся до бесконечности деление, как, тем не менее, осуществленное и законченное! Однако мы полагаем, что эти кажущиеся противоречия являются всего лишь результатом двух заблуждений: отождествления только неопределенного (ind'efini) с бесконечным (infini) и применения к бесконечному финитистических понятий – как например, числовое равенство. Как бы там ни было, эти вопросы были настолько исчерпывающе проработаны и разъяснены в работах Рассела и Кутюра, что нам нет нужды на них останавливаться. Нам фактически продемонстрировано, что понятие актуальной бесконечности никоим образом невозможно вывести или реконструировать из других понятий. Концепции потенциальной бесконечности, бесконечного возрастания или изменения без конца, к которым хотят свести актуальную бесконечность или даже поставить их на место последней, основаны, в свою очередь, на гипотезах, реально предполагающих актуальную бесконечность. Потенциальная бесконечность возможна только в актуальной бесконечности и на ее основе. Только в бесконечности может возрастать и изменяться величина, так же, как и переменная может расти и изменяться до бесконечности. Несомненно, противоречиво рассматривать бесконечное как завершенное, поскольку тогда оно является только чем-то неопределенным, но не актуальной бесконечностью. Или в аристотелевском стиле: вещь не может одновременно находиться в состоянии потенции и в состоянии акта; и акт всегда есть то, что служит основой потенции, а не наоборот. Если на прямой можно обнаружить бесконечное количество точек, то это возможно лишь потому, что они там есть. И если можно считать до бесконечности, то вследствие того, что количество конечных чисел бесконечно. Также актуальную бесконечность предполагает понятие предела, с помощью которого хотят обойти это затруднение [347] и устранить понятие актуальной бесконечности. Что же должно означать, когда точка, величина представляет предел ряда, если не именно то, что мы все еще находим бесконечность точек, бесконечность элементов этого ряда даже весьма близко к пределу, на очень малом расстоянии, каким бы малым ни было различие? Итак, очевидно, что понятие бесконечности входит в определение предела даже дважды: 1. В факторе бесконечного количества точек; 2. В бесконечном приближении к пределу.
347
Например, Дедекинд.
Из вышесказанного следует, что мы должны и можем полагать бесконечное чисто в себе самом – как прафеномен. И при этой возможности стоило бы вспомнить, что хотя теорию актуальной бесконечности по праву связывают с именем Кантора, но она уже задолго до Кантора стала фундаментом философских и математических умозрений. Но также о Больцано, его гениальном предшественнике, который был не понят в свое время, а также забыт потомками, мы в данный момент говорить не хотим, но хотим говорить о великом основателе современной философии и науки: о Декарте, который силой и глубиной взгляда, продуманного еще дальше, чем у Кантора, не только зафиксировал объективную законность «бесконечного» [348] и указал на невозможность поставить на ее место только неопределенное, но и сделал бесконечность принципиальным основанием учения о конечном.
348
Ср. Письма к Мерсенну, 1637.
§ 11. Парадоксы бесконечного – Больцано
Больцано отчетливо признал законность и объективную необходимость актуальной бесконечности. В небольшой книге «Парадоксы бесконечного» (Регенсбург, 1837) он показал парадоксальный характер выводов, которые при этом хотят получить, и одновременно доказал совершенно иллюзорную природу мнимых противоречий, создав понятие эквивалентности, в области бесконечного соответствующее равенству для конечных чисел и сумм. Ибо хотя гипотеза, согласно которой конечное число должно быть равно своей половине, очевидно, противоречива и абсурдна, но никоим образом не в отношении того, что бесконечное целое эквивалентно своей части. Так, например, количество конечных чисел с необходимостью бесконечно, а именно актуально бесконечно – здесь мы должны рассматривать числа в качестве данных до акта счета; несмотря на это, количество всех четных или всех простых чисел нельзя определить – в чем мы легко можем убедиться, если установим однозначное и взаимное сочетание совокупности всех чисел с совокупностью четных или простых чисел. Аналогично этому, количество всех рациональных чисел или даже всех алгебраических чисел не «больше» количества целых чисел. Все эти множества эквивалентны между собой, и количество всех алгебраических чисел не больше количества чисел как таковых в границах О и I, или обобщеннее выраженного в каких-нибудь заданных пределах. Вследствие этой зафиксированности мы легко понимаем, почему возможность сочетать все без остатка точки двух различных отрезков пути ни в коей мере не подразумевает равенства этих отрезков. Эквивалентность не означает равенство; дело в том, что первая относится к бесконечному, а последнее к конечному.
§ 12. Георг Кантор
Кантор, развивший идеи Больцано далее, пришел к гораздо более интересным результатам. Он дерзко сделал исходным пунктом своих исследований понятие бесконечного множества, бесконечного количества и таким образом обосновал «арифметику бесконечного». Применив понятие порядка к бесконечности, он создал понятие трансфинитного порядкового числа. Мы можем далее не заниматься этой теорией, мы коснемся здесь только следующих отдельных моментов:
1. Кантор определяет бесконечное множество посредством его свойства быть эквивалентным собственной части или, как говорит он, быть со своей частью одной мощности. При этом оказывается, что формально конечное множество можно определить не иначе, как посредством негативного свойства: не быть равной мощности с частью самого себя: это, со своей стороны, означает, что данное множество как раз не является бесконечным. Вследствие этого в логической конструкции арифметики понятие бесконечного и теория множеств должны были бы предшествовать арифметике конечных чисел, логически предшествовать ей, служить ее фундаментом. Понятие бесконечного – это предпосылка в арифметике, так же, как и в геометрии. Более глубокая причина заключается в самой сущности конечного числа. Поскольку ряд конечных чисел с необходимостью продолжается до бесконечности, то, видимо, понятие бесконечности уже должно содержаться в определении конечного числа.
2. Исследования Кантора о понятии предела и континуума привели к результату исключительной важности: континуум не равен по мощности рассчитываемому бесконечному, но в сравнении с ним обладает бесконечно большей мощностью. Итак, существуют, по меньшей мере, две бесконечности! [349]
При анализе предела наталкиваются на то, что Кантор называет «точкой скопления». Он определяет ее посредством того факта, что всегда на каком-то расстоянии от данной точки наталкиваются на точку, которая относится к ряду; из этого непосредственно следует, что эти «наиболее сближенные» точки существуют в бесконечном числе и нет еще более близких. Пытаясь установить существенные свойства континуума, Кантор пришел к следующим характеристикам, которые, правда, в отличие от того, что он полагал, и как мы также продемонстрируем, не могут использоваться для «определения» континуума: все точки континуума являются точками скопления, и все точки скопления относятся к единству или к совокупности самого континуума. Говоря научным языком: единство континуума – это единство полной когерентности или плотности. Между какими-нибудь двумя точками одного континуума с необходимостью имеется одна (непрерывная) необходимость в соотношении с другой. Не существует двух точек, которые граничат друг с другом; они отделены друг от друга подобной же бездной бесконечности точек. Здесь дихотомия появляется в последний раз, и здесь мы с ней также окончательно расстаемся. Ведь если здесь, как показано, существует общая для всех математических дисциплин проблема, и трудности, которая она в себе заключает, не суть противоречия, но только парадоксы, то нам нет необходимости учитывать их в позитивном анализе движения. Повсюду, где мы оперируем такими понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы находимся в сфере, где проблема Зенона считается разрешенной, поскольку иначе все эти понятия, прямая, путь, расстояние, тело, не имели бы смысла. Эта проблема относится к гораздо более глубокому слою – слою чистой математики. Для измерения, в котором движение вообще принимается в расчет, проблема Зенона уже не существует.
349
Но также существуют всего лишь две бесконечности, две мощности. Не существует мощности между рассчитываемой бесконечностью и континуумом, а также сверх континуума. Все попытки обнаружить, стоящую ещё выше континуума мощность, являются, по-моему, ложными, поскольку все они предполагают теорему Цермело о правильном порядке, но ее доказательство подразумевает некий circulus vitiosus [лат. – порочный круг. – Прим. ред.].
§ 13. Бесконечное и континуум
Мы не можем перейти к анализу движения, не сказав несколько слов о континууме. Кантор, который с такой силой и точностью обнаружил невозможность определить бесконечное, странным образом заблуждался, когда полагал, что континуум невозможно реконструировать из простых элементов, и пытался дать конструктивное определение континуума, или, скорее, непрерывного количества. Вместе с Расселом он надеялся найти такое определение. Выше мы уже его упоминали. По нашему мнению, такое определение можно понимать только как развитие простого буквального смысла «непрерывной величины», но отнюдь не в качестве конструктивного определения. Идея непрерывности, континуума – это простая идея, которую невозможно свести ни к какой другой – в той же мере, как и идею бесконечного. Определение Кантора зацикливается. Если говорят, что непрерывная совокупность должна быть полной, то этим выражают лишь тот факт, что в совокупности должны быть все точки скопления включительно – идея, которая имплицирует идею «других» точек скопления, в качестве точек скопления, принадлежащих ряду, бесконечной совокупности точек «между» и «за пределами» точек данной совокупности. Что с другой стороны является не чем иным, как идеей непрерывной «середины». Можно было бы даже сказать, что уже идея границы предполагает идею континуума.
Итак, необходимо точно различать континуум и непрерывную величину. Только в отношении самого континуума встает действительная философская проблема, вечная онтологическая проблема . Ведь континуум сам по себе не поддается всевозможным определениям по величине, числу и тому подобному. В нем, как говорит Платон, невозможно различить ни большое, ни малое. Невозможно сравнивать его различные части между собой. И даже вообще невозможно фиксировать в нем части. Это и не множество (в смысле совокупности), и не величина. Это, так сказать, инаковость само по себе, «», как сказал бы Платон. Его нельзя ни сосчитать, ни измерить. Даже невозможно сказать, что бесконечное приумножение эквивалентно наименьшей части целого, поскольку понятия целого и части вообще неприменимо к нему. Это и не единство, и не множество, так как обе этих идеи коррелятивны друг другу. Это есть (если оно вообще есть) не некое единство и «не многообразная многократность». Это подлинное , хаос без границ и без числа – бесконечная и неделимая протяженность Спинозы, незаконнорожденная сущность, как называет это Платон. И именно это почти невыразимое свойство непрерывного протяжения выделяется при изучении непрерывных величин, именно вследствие его непрерывное пространство в качестве целого может сочетаться с какой-нибудь своей частью, «откладываться» на каком-нибудь отрезке геометрической прямой, посредством чего может быть наглядно представлено. Уже здесь в переходе от чистого пространства, чистого континуума самого по себе к непрерывной величине, к ограниченной части пространства лежит пропасть! Фактически преодоленная пропасть – с помощью всевозможных фактических частей, прямых, тел и т. д.! Движение – в котором и вместе с которым эта пропасть также eo ipso преодолена – не несет с собой никаких новых проблем, никакого особого парадокса. Мы не должны спрашивать: как возможно, что тело может преодолеть делимое до бесконечности пространство; как возможно, что оно в состоянии проходить расстояние, состоящее из бесконечного количества точек, но, напротив, должны задаться вопросом: как возможно, что трансцендентный континуум служит обозначением величин для прямых, тел и расстояний. Как доходят до того, чтобы не синтезировать нечто делимое, но, напротив, делить и измерять неделимое и неизмеримое! И, конечно, это даже не начало решения или объяснения, когда пространство или время истолковывают в качестве «субъективного», как чистые апперцепции и в подобном роде. Ибо является ли пространство реальным или субъективным, содержится ли оно «in intellectu» или «extra intellectum» – проблема остается той же самой. Именно оттого, что мы представляем пространство сущностным, оно скрывает в себе проблему; это идея континуума, которую мы не можем постичь.
Не пространство, делимое до бесконечности, позволило бы нам привести возражения против возможности движения, но именно неделимое пространство, и эти возражения совсем не касаются движения как такового. Действительные проблемы и трудности имеют онтологическую природу, они являются результатом конституции самого сущего. [350] Они встают задолго до того, как мы сталкиваемся с движением, задолго до того, как само движение может стать для нас проблемой. Вследствие этого в анализе специальной проблемы (о возможности движения) они не могут нас каким-либо образом тревожить и мешать нам.
350
Нам кажется, что здесь также проявляется глубокий смысл аргументов элеатского диалектика. Проблема движения для него – только пример, поразительнейший пример невозможности делить и ограничивать Единое, континуум.