Большая Советская Энциклопедия (ФУ)
Шрифт:
Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x ) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле ). Более общо, если f (x ) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x ) непрерывна (К. Жордан ). Если f (x ) непрерывна и её
Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x зависит от поведения функции f (x ) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x функция f (x ) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x — 0) и f (x + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x , то он сходится к значению 1 /2 {f (x — 0) + f (x + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x ) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x ).
Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров , 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (—p, p) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x ) сумма Фейера
при n ® yen равномерно сходятся к f (x ) (Л. Фейер , 1904).
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965.
Фурье Франсуа Мари Шарль
Фурье' (Fourier) Франсуа Мари Шарль (7.4.1772, Безансон, — 10.10.1837, Париж), французский утопический социалист. Родился в купеческой семье, почти всю жизнь служил в торговых домах. Окончил среднюю школу, затем пополнял знания путём самообразования. На мировоззрении Ф. отразилось его глубокое разочарование в результатах Великой французской революции.
Свои исторические и социальные взгляды Ф. впервые изложил в статье «Всемирная гармония» (1803), анонимной брошюре «О торговом шарлатанстве» (1807) и книге «Теория четырех движений и всеобщих судеб» (1808, рус. пер. 1938). Подробный план организации общества будущего Ф. разработал в «Трактате о домоводческо-земледельческой ассоциации» (т. 1—2, 1822), переизданном посмертно в 1-м французском собрании сочинений, т. 2—5, 1841—43, под заглавием «Теория всемирного единства» и в книге «Новый хозяйственный социетарный мир» (1829, рус. пер, 1939).
Ф. отвергал социальную философию и экономические учения Просвещения , считая, что они противоречат опыту и оправдывают негодный общественный строй. Вместе с тем Ф. воспринял и развил ряд идей материалистов 18 в.: признание единства мироздания как извечно существующей и закономерно движущейся материи во всём многообразии её форм и видов движения; определение исторического процесса как движения, направленного на обеспечение всеобщего благополучия, и др. Задачу своей жизни Ф. видел в разработке «социальной науки» как части «теории всемирного единства», основанной на принципе «притяжения по страсти», всеобщей закономерности, обусловливающей природную склонность человека к какому-либо виду коллективного труда. Ф. разработал оригинальную схему истории человечества. Общество последовательно проходит периоды эдемизма («райской» первобытности), дикости, варварства и цивилизации. Особое внимание Ф. уделил анализу и критике современного периода («периода цивилизации»); он вскрыл его внутренние противоречия (кризисы от избытка, бедность, порождаемую изобилием, и др.). На смену строю цивилизации, по Ф., должен прийти высший общественный строй — строй гармонии, который не только соответствует предначертаниям бога-природы, но представляется как историческая необходимость.
В системе Ф. сохранялись частная собственность, классы и нетрудовой доход. Для успеха нового общества, считал Ф., необходим рост производительности труда, обеспечивающий богатство для всех, для чего общественный доход должен распределяться соответственно: капиталу (4 /12 ), труду (5 /12 ) и таланту 3 /12 ). С укреплением и развитием строя ассоциации эти пропорции, как предполагал Ф., будут изменяться в пользу труда. Строй ассоциации создаёт, по Ф., крупное коллективизированное и механизированное сельское хозяйство, соединённое с промышленным производством. Это соединение произойдёт в первичных ячейках общества — «фалангах», располагающихся в огромных дворцах — «фаланстерах». Такая организация общества приведёт к ликвидации разрыва между городом и деревней, к созданию поселений нового типа, где объединятся все виды человеческой деятельности и преимущества городской и сельской жизни.
Согласно Ф., естественные страсти человека, подавляемые и искажаемые при строе цивилизации, будут направлены на творческий труд, полный разнообразия и радостного соревнования. Разумно организованные могучие трудовые армии — региональные, национальные и международные — преобразуют лик Земли. В новых условиях общественной жизни будет формироваться и новый человек как целостная, всесторонне развитая личность.
В учении Ф. было немало идей и концепций, которые позднее получили развитие не только в философии, социологии и экономической науке, но и в таких специальных отраслях, как социальная психология, психология труда, педагогика. Для учения Ф. характерны элементы материализма и диалектики. Вместе с тем его учению свойственны идеалистическое понимание истории, методологическая непоследовательность, беспочвенные мечтания. Мировоззрение Ф. несёт на себе отпечаток мелкобуржуазности: идеальный «строй гармонии» был далёк от экономических требований крупного общественного производства.
По определению К. Маркса и Ф. Энгельса, «Фурье исходит непосредственно из учения французских материалистов» (Соч., 2 изд., т. 2, с. 146) и «... так же мастерски владеет диалектикой, как и его современник Гегель» (Энгельс Ф., там же, т. 19, с. 197). Маркс и Энгельс, указывая, что Ф. блестяще разработал ряд проблем будущего общества, вместе с тем критиковали его за отказ от классовой, революционной и всякой вообще политической борьбы, за сохранение в строе ассоциации основных элементов капиталистических общественных отношений, надежду на содействие лучших представителей господствующих классов делу разумного переустройства общества. Маркс и Энгельс признавали Ф. наряду с К. А. Сен-Симоном и Р. Оуэном одним из тех мыслителей, которые «... гениально предвосхитили бесчисленное множество таких истин, правильность которых мы доказываем теперь научно...» (Энгельс Ф., там же, т. 18, с. 499).