Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

Большая Советская Энциклопедия

Овалы Декарта (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF₁ + + nMF₂ = с. уравнение в прямоугольных координатах:

(x + y’’ —2rx)² — l²(x² + y²) — k = 0,

где r, l и k —

некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:

(n² — m²)(² + 2((mc — n2d cos + n²d² — с² = 0.

Помимо фокусов F₁ и F₂, имеется и третий фокус F₃, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = —1 — в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).

Овалы Кассини (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F₁ и F₂ точки на оси абсцисс, F₁F₂ = 2b, а произведение MF₁xMF₂ = а². уравнение в прямоугольных координатах:

(x² + y²)² — 2b² (a² — y²) = a⁴ — b⁴.

Если

, то овал Кассини — выпуклая кривая; если b < a <

, то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

Улитка Паскаля (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 6), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588—1651), впервые изучавшего её.

Астроида (от греч. 'astron — звезда и 'eidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x^2/3 + y^2/3 = а^2/3, где а — радиус неподвижной окружности. Астроида — линия 6-го порядка.

Розы (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 8), кривые, полярное уравнение которых: r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраической Л. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 9), кривые, полярное уравнение которых r^m = a^m cosmj; если m — рациональное число, то эти Л. — алгебраические. Частные случаи: m = 1 — окружность, m = — 1 — прямая, m = 2 — лемниската Бернулли, m = —2 — равнобочная гипербола, m = ¹/₂ — кардиоида, m = — ¹/₂ — парабола. При целом m > 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей.

Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие Л.:

Квадратриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах:

; в полярных координатах:

. Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.

Трактриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:

.

Цепная линия (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a

= а (e^x/a + е^{– х/a})/2.

Циклоида (от греч. kykloeides — кругообразный) (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4а), если она лежит внутри круга (r > а), — укороченную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4б), если точка вне круга (r < а), — удлинённую циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4в). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме: