Большая Советская Энциклопедия (ЛО)

Большая Советская Энциклопедия

4. ((j&

)'E

),

5. (j'E(

'E(j&

))),

6. ((j'Eh)'E((

'Eh)'E((j

)'Eh))),

7. (j'E(j

)),

8. (

'E(j

)),

9. (`uj'E)(j'E

)),

10. ((j'E

)'E((j'E`u

)'E`uj))

11. (j

`uj),

12. ("xj'Ej(x/y)),

13. (j(x/y) 'E$xj).

В исчислении предикатов употребляются след. три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формул j и (j'E

) выводится формула

. Два кванторных правила вывода: 2) из формулы (j'E

), где

 не содержит свободно х, можно вывести (j'E"x

); 3) из формулы (j'E

), где

 не содержит свободно х, можно вывести ($xj'E

).

В отличие от других формулировок исчисления (см., например, Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь j,

 и h не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1—13 есть аксиомная схема, «порождающая» при подстановке вместо греческой буквы некоторую конкретную аксиому; специальных правил подстановки при этой формулировке не надо.

Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического лишь тем, что закон исключенного третьего (аксиома 11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие в их истолкованиях. Истолкование логических связок &,

, 'E, `u в исчислениях предикатов таково же, как и в соответствующих исчислениях высказываний. Что касается истолкования кванторов, то в классическом исчислении предикатов кванторы трактуются с точки зрения актуальной бесконечности. Точнее, каждая формула получает значение «истина» или «ложь», если определить модель исчисления предикатов, т. е. определить множество объектов, приписать каждой предикатной букве формулы некоторое отношение на этом множестве и приписать всем параметрам формулы некоторые объекты в качестве значений. Формула называется классически общезначимой, если она в любой модели принимает значение «истина». Как показал К. Гёдель, в классическом исчислении предикатов выводимы все классически общезначимые формулы, и только они. Эта теорема Гёделя и представляет собой точное выражение идеи формализации логики: в классическом исчислении предикатов выводятся все логические законы, общие для всех моделей.

В интуиционистском же истолковании утверждение, что некоторая формула истинна, требует проведения некоторого математического построения. Например, "x$yj истинно с интуиционистской точки зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого х соответствующее у. Истинность "x (j

`uj) предполагает наличие метода для определения истинного члена дизъюнкции (j

`uj) для каждого значения параметра х. Например, классически общезначимые формулы, выражающие закон исключенного третьего (j

`uj) или закон пронесения отрицания через всеобщность (`u"xj'E$x`uj), интуиционистски необщезначимы (теория моделей развивается, однако, и для интуиционистского исчисления предикатов).

Л. п. является обычным базисом для построения логических исчислений, предназначенных для описания тех или иных дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов «конкретизируется»: к нему добавляют предикатные символы и знаки операций, выражающие специфические отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Например, если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел, то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т.п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления прецикатов (логических постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфические законы изучаемого предмета (прикладные, специфические аксиомы). Таким образом строится, например, формальная арифметика.

Помимо классического и интуиционистского исчислений предикатов, имеются и др. логические системы, описывающие логические законы, выразимые иными логическими средствами или с иных методологических позиций. Сюда относятся исчисления модальной логики, вероятностной логики, индуктивной логики и др.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

А. Г. Драгалин.

Логинов Евгений Федорович

Ло'гинов Евгений Федорович [10(23).10.1907, Гельсингфорс, ныне Хельсинки, — 7.10.1970, Москва], советский военачальник, маршал авиации (1967). Член КПСС с 1939. В Советской Армии с 1926. Окончил Военно-теоретическую школу ВВС (1926), военную школу лётчиков (1928), Высшую военную академию им. К. Е. Ворошилова (1949). В 1926—42 лётчик, командир звена, отряда, эскадрильи, помощник командира авиабригады. Во время Великой Отечественной войны 1941—1945 командовал авиационной дивизией и авиационным корпусом дальнего действия. После Великой Отечественной войны начальник факультета и заместитель начальника Военно-воздушной академии (1950—54), на ответственной работе в войсках; заместитель Главкома ВВС и генерал-инспектор Главной инспекции министерства обороны (1954—59), начальник Главного управления Гражданского воздушного флота (1959—1964), с 1964 министр Гражданской авиации СССР. Депутат Верховного Совета СССР 7-го созыва. Кандидат в члены ЦК КПСС (с 1966), член ЦК КПСС с 1968. Награжден 4 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Кутузова 1-й степени, Суворова 2-й степени, Александра Невского, Красной Звезды и медалями.

Е. Ф. Логинов.

Логистика

Логи'стика (от греч. logistike — искусство вычислять, рассуждать), 1) синоним (несколько архаический) термина математическая логика. 2) Наименование этапа в развитии математической логики, представленного работами Б. Рассела и его школы (см. Логицизм). В античной математике Л. называли «искусство» вычислений и геометрических измерений, противопоставлявшееся «теоретической» математике. Г. В. Лейбниц употреблял термины logistica и logica mathematica как синонимы для разрабатывавшегося им calculus ratiocinator — исчисления умозаключений, идеи которого получили впоследствии более полное воплощение в современной математической логике. Термин «Л.» имеет ряд производных: логистический метод (способ изложения формальной логики посредством построения формализованных языков), логистическая система (то же, что формальная система, исчисление) и др.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960.

Ю. А. Гастев.

Логицизм

Логици'зм, направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах «чистой» логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объёмам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена.

Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге «Основные законы арифметики» (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд «Principia Mathematica» (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления», или «теории типов». Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта «иерархия типов» (а в др. модификациях системы РМ — ещё дополнительная «иерархия уровней») позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного «мира математики» (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).