Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Большая Советская Энциклопедия

Лит.: Мартынов Г. К., Фомин В. Н., Показатели надёжности технических устройств, М., 1969.

Показатель преломления

Показа'тель преломле'ния , см. Преломления показатель .

Показатель тепла

Пока'затель тепла' в астрономии, разность визуальной и радиометрических звёздных величин небесного светила.

Подобно показателю цвета , характеризует распределение энергии в спектре объекта. Нульпункт системы П. т. установлен так, что П. т. равен нулю у звёзд спектрального класса АО. Радиометрические наблюдения производятся с помощью приёмников, регистрирующих всю попадающую на них энергию, — болометров, термоэлементов и радиометров. П. т. использовались при определении температуры звёзд. Понятие П. т. введено в 20-х гг. 20 в

Показатель

цвета

Показа'тель цве'та в астрономии, разность звёздных величин, полученных в двух интервалах длин волн; характеризует основные черты распределения энергии в спектре небесного объекта, его цвет. Понятие П. ц. введено К. Шварцшильдом в начале 20 в. До 50-х гг. 20 в. основным являлся интернациональный П. ц., представляющий собой разность интернациональных фотографической и фотовизуальной звёздных величин. В современной астрономии в наиболее распространённой фотометрической системе UBV обычно используются П. ц. U—B и В—V, соответствующие разностям звёздных величин в ультрафиолетовой (U), синей (В) и жёлтой (V) частях спектра (см. Звёздная величина ). Расширение системы UBV в красную и инфракрасную области (величины R, I и др.) позволяет получить другие П. ц., например V—R, V—I и т.п. Нульпункт П. ц. установлен так, чтобы все П. ц. равнялись бы нулю для ряда избранных близких звёзд-карликов спектрального класса А0. П. ц. В—V и U—B отрицательны для звёзд более ранних спектральных классов (более «голубых»), чем А0, и положительны для более поздних (более «красных»). В др. фотометрических системах нульпункты П. ц. могут отличаться от указанного. П. ц. определяются либо фотографически, либо фотоэлектрически. Используются при изучении межзвёздного поглощения света, природы и эволюции звёзд и звёздных систем и др. объектов.

Лит. см. при ст. Звёздная величина .

А. С. Шаров.

Показательная функция

Показа'тельная фу'нкция , экспоненциальная функция, важная элементарная функция

f (z ) = e^z ,

обозначается иногда expz ; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением

;

Очевидно, что e = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е — основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:

 и

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис. ) П. ф. e^x > 0 и при n ® yen возрастает быстрее любой степени х, а при х ®– yen убывает быстрее любой степени 1/x:

,

,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция : если w = e^z , то z = ln w.

Рассматривается также П. ф. a^z при основаниях а > , отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2^x , (¹ /₂ ) ^x и т.д.]. П. ф. a^z связана с П. ф. e^z (основной) соотношением

a^z = e^zlna .

П. ф. e^x является целой трансцендентной функцией . Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

, (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.

Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

e^z = e^x+iy = e^x (cosy + i siny ),   (2)

связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями . Из неё вытекают соотношения:

,

.

Функции

 ch y ,

 = sh y

называются гиперболическими функциями , обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z ) имеет период 2pi, то есть e^z+2pi = e^z или e^2pi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (e^z )' = e^z .

Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.

Показательное распределение

Показа'тельное распределе'ние , распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей р (х ), равной при х &sup3; 0 показательной функции le^{– lx} , l > 0 [отсюда название П. р.] и при х < 0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X , имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e^{– lx} . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 1/l и 1/l² . П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x₁ и x₂ выполняется равенство