Большая Советская Энциклопедия (СФ)

Большая Советская Энциклопедия

Параллакс. Поскольку наблюдатель перемещается в пространстве из-за вращения Земли и обращения её вокруг Солнца, меняются и направления на небесные светила. Для получения сравнимых величин результаты наблюдений приводятся в первом случае (при наблюдении тел Солнечной системы) к центру Земли, а во втором случае (при наблюдении звёзд) — к центру Солнечной системы, то есть к Солнцу. Величина параллактического смещения зависит от расстояния до небесного светила.

Рефракция. Вследствие преломления света небесных светил в земной атмосфере светила кажутся смещенными в направлении зенита. Величина смещения зависит от показателя преломления воздуха (от температуры, давления и др.) и зенитного расстояния светила. При наблюдениях близких небесных светил (особенно для искусственных спутников Земли) принимают во внимание также смещения вследствие рефракционного параллакса, обусловленные неодинаковым влиянием рефракции на небесные светила, находящиеся в одном направлении от земного

наблюдателя, но на разных расстояниях от него.

Результаты наблюдений небесных светил могут быть использованы для практических целей — определения географических координат, азимутов и времени, а также для теоретических исследований и других целей — лишь после освобождения их от влияния всех перечисленных искажающих факторов. Для вычисления соответствующих редукций пользуются так называемыми астрономическими постоянными, то есть численными характеристиками описанных явлений. Определение астрономических постоянных из данных астрономических наблюдений является задачей, связывающей С. а. с фундаментальной астрометрией и небесной механикой, а также с изучением строения Земли. С. а. имеет широкое и непосредственное применение в практической астрономии. В предмет С. а. также входят вопросы, связанные с определением координат на поверхности тел Солнечной системы, в частности на поверхности Луны, требующие учёта либрации Луны. Последняя проблема стала особенно актуальной с началом эры межпланетных перелётов и высадкой космонавтов на Луну. Кроме того, в С. а. изучаются способы вычисления солнечных и лунных затмений, а также других аналогичных явлений (покрытий звёзд Луной, прохождений планет по диску Солнца и т. п.).

Лит.: Блажко С. Н., Курс сферической астрономии, 2 изд., М., 1954; Редукционные вычисления в астрономии, в кн.: Астрономический ежегодник СССР на 1941 г., М.— Л., 1940 (Приложение, с. 379—432); Казаков С. А., Курс сферической астрономии, 2 изд., М.—Л., 1940; Куликов К. А., Курс сферической астрономии, М., 1969; Загребин Д. В., Введение в астрометрию, М.— Л., 1966; Newcomb S., A compendium of spherical astronomy..., N. Y.— L., 1906; Chauvenet W., A manual of spherical and practical astronomy..., 5 ed., v. 1, Phil., 1891.

Сферическая геометрия

Сфери'ческая геоме'трия, математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, например, в С. г. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.

Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу AmB (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом AOB. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом A' BC' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом, образованным плоскостями OBA и OBC.

При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S= 2R²A, где R — радиус сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы

и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC (рис., 5), углы А, В, С треугольника — двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' С и BCC' на рис., 6.

Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2p. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3p и больше p. Разность s – p = e, где s — сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R²e, где R — радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.

Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,— параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол q = РОМ (полярное расстояние, в качестве второй — угол j = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

F (q, j) = 0

между координатами q и j определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M₁M₂ этой линии вычисляется по формуле

где t₁ и t₂ — значения параметра t, соответствующие концам M₁и M₂ дуги M₁M₂ (рис., 8).

Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.