Человеческое познание его сферы и границы

Рассел Бертран Артур Уильям

Эта проблема точности математики и неточности чувств является весьма древней проблемой, которую Платон пытался разрешить с помощью фантастической гипотезы воспоминания. В новое время эта проблема, как и некоторые другие неразрешенные проблемы, была забыта благодаря тому, что с ней сжились, как иногда не замечают дурной запах потому, что в течение долгого времени привыкают к нему. Ясно, что если геометрия должна применяться к чувственно воспринимаемому миру, то мы должны найти определения точек, линий, плоскостей и так далее в терминах чувственных данных или же мы должны быть в состоянии вывести из чувственных данных существование невоспринимаемых сущностей, имеющих такие свойства, в которых нуждается геометрия. Нахождение путей или пути к выполнению того или другого является проблемой эмпирической интерпретации геометрии.

Существует и неэмпирическая интерпретация, которая оставляет геометрию

в сфере чистой математики. Совокупность всех упорядоченных триад реальных чисел образует трехмерное евклидово пространство. При такой интерпретации вся евклидова геометрия дедуцируется из арифметики. Даже неевклидова геометрия допускает подобную арифметическую интерпретацию. Можно показать, что как евклидова геометрия, так и любая форма неевклидовой геометрии могут применяться ко всякому классу, имеющему одно и то же количество терминов в качестве реальных чисел; вопрос о количестве измерений и о том, будет ли получающаяся в результате геометрия евклидовой или неевклидовой, будет зависеть от того упорядочивающего отношения, которое мы выберем; существует (в логическом смысле) бесконечное количество упорядочивающих отношений, и только соображения эмпирического удобства могут привести нас к выбору одного из них как заслуживающего особого внимания. Все это имеет значение при обсуждении вопроса о том, какая интерпретация чистой геометрии лучше для инженера или физика. Это показывает также, что в эмпирической интерпретации само упорядочивающее отношение, а не только упорядочиваемые термины, должно быть определено с помощью эмпирических терминов.

Очень сходные соображения применимы и ко времени, которое, однако, поскольку дело касается этого нашего вопроса, является не столь трудной проблемой, как пространство. В математической физике время трактуется как состоящее из моментов, хотя озадаченного этим обстоятельством студента уверяют, что моменты суть математические фикции. Никаких попыток не предпринимается, чтобы показать ему, чем полезны фикции или как они относятся к тому, что не является фикцией. Он обнаруживает, что с помощью этой фантастики можно исчислять то, что происходит на самом деле, и спустя некоторое время он, вероятно, перестает беспокоиться по поводу того, почему это так получается.

Моменты не всегда рассматривались как фикция; Ньютон считал их столь же «реальными», как реальны Солнце и Луна. Когда этот взгляд был отвергнут, оказалось легко перейти к противоположной крайности и забыть, что полезная фикция является, по-видимому, не только простой фикцией. Существуют различные степени фиктивности. Попробуем на один момент рассматривать индивидуального человека как нечто отнюдь не фиктивное; что тогда скажем мы о различных совокупностях людей, к которым он принадлежит? Большинство будет испытывать колебания в признании семьи фиктивной единицей, но как обстоит дело с политической партией или с клубом игроков в крикет? Как обстоит дело с совокупностью людей, которую мы называем словом «Смит» и к которой, как мы предполагаем, принадлежит наш индивидуум? Если вы верите в астрологию, вы будете придавать определенное значение совокупности людей, рожденных под определенной планетой; если же вы не верите в нее, вы будете считать такую совокупность людей фиктивной. Эти различения не являются логическими; с логической точки зрения все совокупности индивидуумов одинаково реальны или одинаково фиктивны. Значение этих различий практическое, а не логическое: имеются некоторые совокупности, о которых можно сказать много полезного, тогда как о других совокупностях этого сказать нельзя.

Когда мы говорим, что моменты суть полезные фикции, мы имеем в виду, что существуют такие сущности, которым как индивидуальным людям мы склонны приписывать высокую степень «реальности» (что бы это ни значило), и что в сравнении с ними моменты имеют ту меньшую степень «реальности», какую имеет клуб игроков в крикет по отношению к его членам; но мы хотим также сказать, что о моментах, как и о семьях, в противоположность «искусственным» совокупностям людей можно сказать много практически важного.

Все это очень неопределенно, и проблема интерпретации есть проблема подстановки чего-либо определенного, причем мы всегда должны помнить, что как бы мы ни определяли «моменты», они должны иметь свойства, требуемые в математической физике. Когда имеется две интерпретации, которые обе удовлетворяют этому требованию, выбор одной из них есть дело вкуса и удобства; не бывает так, чтобы одна интерпретация была «правильной», а другая «неправильной».

В классической физике технический аппарат состоит из точек, моментов и частиц. Признается, что имеется отношение из трех членов, то есть отношение, когда некая точка занимается в некий момент, и то,

что занимает точку в некий момент, называется «частицей». Технически признается также, что частицы неразрушимы, так что все то, что занимает точку в данный момент, занимает какую-то точку в каждый другой момент. Когда я говорю, что это признается, я имею в виду не то, что это утверждается как факт, а что техника основывается на предположении, что никакого вреда не произойдет, если мы будем трактовать это как факт. Из этого все ещё исходят в макроскопической физике, но в микроскопической физике «частицы» постепенно исчезали. «Материя» в старом её понимании больше не нужна; нужна «энергия», которая не определяется, за исключением тех случаев, когда дело идет о её законах и об отношении изменений в её распределении к нашим ощущениям, особенно когда дело идет об отношении частот к цветовым восприятиям.

Вообще говоря, мы можем сказать, что основной технический аппарат современной физики есть четырехмерное многообразие «событий», упорядоченных пространственно-временными отношениями, которые могут быть разложены на пространственные и временные компоненты многими способами, выбор между которыми произволен. Поскольку математический анализ ещё используется, то технически признается, что пространство-время является непрерывным, но не ясно, насколько это допущение является чем-то большим, чем математически удобным построением. Не ясно также, имеют ли «события» то определенное положение в пространстве-времени, которое используется для того, чтобы характеризовать частицу в какой-либо момент. Все это делает вопрос об интерпретации современной физики очень трудным, но при отсутствии какой-либо интерпретации мы не можем сказать, что он утверждается квантовой физикой.

Понятие «интерпретации» в его логическом аспекте несколько отличается от того довольно неопределенного и трудного понятия, которое мы рассматривали в начале этой главы. Там мы имели дело с символическими утверждениями, о которых известно, что они имеют связь с наблюдаемыми явлениями и ведут к результатам, подтверждаемым наблюдением, но которые несколько неопределенны по значению, кроме тех случаев, когда их связь с наблюдением определяет их. В этом случае мы можем сказать, как мы говорили в начале этой главы, что мы вполне уверены в истинности наших формул, но совсем не уверены в их значении. В логике же мы идем совершенно другим путем. Наши формулы не рассматриваются как «истинные» или как «ложные», но как гипотезы, содержащие переменные величины. Совокупность тех значений переменных, которые делают гипотезу истинной, есть «интерпретация». Слово «точка» в геометрии может быть интерпретировано как обозначающее «упорядоченную триаду реальных чисел» или, как мы увидим, как обозначающее то, что мы назовем «полным комплексом сосуществования»; оно может также быть интерпретировано и с помощью бесконечного количества других способов. Общим для всех этих способов является то, что удовлетворяет аксиомам геометрии.

Как в чистой, так и в прикладной математике мы часто имеем собрания формул, которые все логически выводятся из небольшого числа начальных формул, которые могут быть названы «аксиомами». Эти аксиомы могут рассматриваться как залоги для всей системы, и мы можем концентрировать каше внимание исключительно на них. Аксиомы состоят частично из терминов, имеющих известное определение, частично из терминов, которые в любой интерпретации останутся переменными, и частично из терминов, которые, будучи пока ещё неопределенными, потребуют определений, когда аксиомы будут «интерпретированы». Процесс интерпретации состоит в нахождении постоянного значения для этого класса терминов. Это значение может быть придано им или с помощью вербального определения или же с помощью наглядного определения. Оно должно быть таким, чтобы при этой интерпретации аксиомы были истинными. (До интерпретации они ни истинны, ни ложны.) Таким образом, оказывается, что все их следствия также истинны.

Предположим, например, что мы хотим интерпретировать формулы арифметики. В пяти аксиомах Пеано (приведенных выше) имеются: во-первых, логические термины, такие, как «есть» и «тождественно с», значение которых предполагается известным; во-вторых, переменные, такие, как а и s» которые должны остаться переменными после интерпретации; в-третьих, термины «О», «число» и «следующее за»» для которых интерпретация должна найти такое постоянное значение, которое сделало бы эти пять аксиом истинными. Как мы видели, существует бесконечное количество интерпретаций, удовлетворяющих этим условиям, но среди них есть только одно, которое удовлетворяет также и эмпирическим утверждениям перечисления, таким, как: «У меня 10 пальцев». В этом случае, следовательно, существует одна интерпретация, которая является гораздо более удобной, чем любая из остальных.