Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?

Ибаньес Рауль

Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими, чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).

Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с большим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (отрезка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обозначает высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг, соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус которого

равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора: h² + с² = 5²). Следующий рисунок получен именно так.

Точки, находящиеся на отрезке, указывают высоту, на которой расположена каждая из окружностей. Этот рисунок является визуализацией сферы на плоскости (рисунок Хосу Арройо).

Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы можем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными 5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различных высотах h в направлении ана или ката.

Все сферы в направлении, перпендикулярном к трехмерному пространству (в направлении ана или ката), являющиеся частями гиперсферы, изображены на отрезке, точки которого указывают высоту каждой сферы. Этот рисунок является визуализацией гиперсферы в нашем трехмерном пространстве (рисунок Хосу Арройо).

Ортогональные проекции

Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в данном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размерностей.

Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью математических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато можно использовать мощные математические средства.

В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций, используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответствующие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так работает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.

* * *

АЛГОРИТМЫ И АЛГОРИФМЫ

Алгоритм — это упорядоченный и конечный набор действий для решения задачи, будь то в области математики или других наук. Метод вычислений также называется алгоритмом. Раньше в качестве синонима слова «алгоритм» использовали слово «алгорифм», однако в наши дни такое написание практически не употребляется, за исключением устойчивых выражений, как, например, «Нормальный алгорифм Макарова». Математик А.А. Макаров (младший) (1903–1979) был основоположником советской школы конструктивной математики и ввел понятие нормального алгоритма.

* * *

Для начала вспомним, как мы в детстве рисовали куб. Наверняка наши изображения были похожи на рисунок слева. Но мы тогда и не подозревали, что рисуем ортогональную проекцию куба.

Ортогональная проекция — это отображение, а именно проецирование в определенном

направлении n-мерного координатного пространства любой размерности n на одно из его подпространств (n — 1) размерности. Иными словами, все точки, которые находятся на одной прямой линии, расположенной в заданном направлении, проецируются в одну точку (n — 1) — мерного подпространства, в которой эта прямая линия пересекает подпространство. В трехмерном пространстве подпространство, на которое мы проецируем, является плоскостью. Образ объекта, полученный в результате ортогонального проецирования, представляет собой своего рода тень объекта, полученную при освещении его параллельными лучами света, падающими на плоскость проекции в заданном направлении (см. рисунок ниже). Например, так как Солнце находится очень далеко от Земли, солнечные лучи можно считать параллельными, и они падают на Землю в определенном направлении. Таким образом, тени предметов являются ортогональными проекциями. Конечно, если изменить направление проецирования, то получаются различные плоские проекции одного и того же объекта.

Ортогональная проекция куба из «Начертательной геометрии» французского математика Гаспара Монжа.

Рассмотрим теперь трехмерный куб и спроецируем его на плоскость. Чтобы лучше представить проекцию, возьмем кубическую рамку — стержни, показывающие структуру куба и представляющие линии, из которых состоит куб. Проецируя в разных направлениях, мы получим следующие изображения. Как видим, они очень хорошо отражают интуитивный подход, который мы использовали на протяжении всей книги: куб — это результат перемещения квадрата в перпендикулярном направлении.

Ортогональные проекции куба в следующих направлениях: а — перпендикулярном к двум граням куба и параллельном четырем другим; б — параллельном только верхней и нижней граням куба; в — параллельном диагонали; г — не параллельном ни граням, ни диагонали.

В этом случае хорошо видно свойства ортогональных проекций: они переводят отрезки прямых в отрезки или точки и сохраняют параллельность. Кроме того, параллельные отрезки равной длины проецируются в параллельные отрезки также равной длины.

Если мы теперь ортогонально спроецируем четырехмерный гиперкуб (точнее, его каркас) на трехмерное пространство, мы получим трехмерную фигуру, изображенную на рисунке ниже.

Ортогональная проекция каркаса гиперкуба на трехмерное пространство, сделанная с помощью конструктора Zometool.

Если мы ортогонально спроецируем ее на плоскость, то получим классическое изображение гиперкуба.

Как видно, оно соответствует интуитивному образу гиперкуба, который мы получали ранее, представляя, как куб перемещается в перпендикулярном направлении. Вернемся снова к этой идее. Если куб перемещается в перпендикулярном направлении, то он порождает гиперкуб, изображение которого на плоскости выглядит следующим образом:

В зависимости от направления перемещения и симметричности гиперкуба его изображение будет отличаться. Но можно пойти еще дальше: при перемещении гиперкуба в перпендикулярном направлении получается 5-мерный куб.