Числа - основа гармонии. Музыка и математика

Арбонес Хавьер

Шестой лад состоит из двух групп по шесть звуков (тон — тон — полутон — полутон) и допускает шесть транспозиций.

Седьмой лад состоит из двух групп по шесть звуков (полутон — полутон — полутон — тон — полутон) и допускает шесть транспозиций.

Математика музыкальной формы

Симметрия

наблюдается не только в музыкальных фразах и мотивах. Более сложные музыкальные структуры также могут обладать интересными математическими свойствами.

В формальном анализе музыкальных произведений изучается «музыкальная плоскость» — иными словами, составные части произведения и взаимосвязи между ними. Так как «музыкальную плоскость» можно изображать с разной степенью точности, в зависимости от «масштаба» можно получить общее представление, не содержащее нюансов, либо, напротив, в подробностях увидеть все детали, но не все произведение в целом.

ABCDE…

Рассмотрим музыкальные произведения издалека. Мы увидим крупные структуры, которые будем обозначать заглавными латинскими буквами. Здесь в качестве структурных элементов композиции мы будем рассматривать повторяющиеся или изменяющиеся фрагменты произведения. Композицию, в которой полностью повторяется единственная группа, будем обозначать так:

Такие композиции обладают простой симметрией. Произведение, состоящее из двух полностью различных групп, напротив, не обладает какой-либо симметрией:

Существуют ли произведения, симметричные с формальной точки зрения? Да, такие произведения существуют, более того, они встречаются очень часто. Примером может служить скерцо («игра») — произведение, которое обычно является частью другого, более крупного произведения, например симфонии. В качестве примера можно привести скерцо из Девятой симфонии Бетховена или скерцо из Симфонии № 4 Чайковского. По своей сути скерцо имеет вид АВ. Иногда после исполнения второй части первая повторяется заново, и композиция принимает вид:

Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторяться и далее, образуя различные симметричные структуры:

Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из которых также делится на три части. В результате образуются более крупные симметричные структуры:

Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шопена (1810–1849), обладают еще более широкой симметрией:

Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симметрии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следующего вида:

Месса си минор Баха

Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использовал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математическими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную, включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei. Композитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.

Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27), а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две центральных группы (Gloria и Credo) имеют симметричную структуру. Центр симметрии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии Credo — в Crucifixus («Распятье»):

_—Kyrie

 _{Kyrie eleison (№ 1).}

 _{Christe eleison.}

 _{Kyrie eleison (№ 2).}

 _—Gloria

 _{Gloria in excelsis Deo.}

 _{Et in terra pax.}

 _{Laudamus te.}

 _{Gratias agimus tibi.}

 _{Domine Deus. <—}

 _{Qui tollis peccata mundi.}

 _{Qui sedes ad dexteram Patris.}

 _{Quoniam tu solus sanctus.}

 _{Cum Sancto Spiritu.}

 _—Credo

 _{Credo in unum Deum.}

 _{Patrem omnipotentem.}

 _{Et in unum Dominum.}

 _{Et incarnatus est.}

 _{Crucifixus. <—}

 _{Et resurrexit.}

 _{Et in Spiritum Sanctum.}

 _Confiteor.

 _{Et expecto.}

 _{—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei}

_Sanctus.

 _Hosanna.

 _Benedictus.

 _{Hosanna (da capo).}

 _{Agnus Dei.}

 _{Dona nobis pacem.}

В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни Христа, начиная от воплощения (Et incarnatus est) до воскрешения (Et resurrexit), центральная часть повествует о распятии (Crucifixus).

* * *

МУЗЫКАЛЬНЫЕ КРИПТОГРАММЫ

Криптограмма — сообщение, которое нельзя прочитать, не зная ключа шифра. Это сообщение может быть спрятано внутри рисунка, в тексте или посреди беспорядочно расположенных цифр и букв. Музыкальная криптограмма — это произведение, в котором зашифрован текст. Чтобы прочитать его, необходимо всего лишь записать обозначения всех его нот. Многие композиторы создавали произведения, следуя такой системе. Наиболее известной музыкальной криптограммой, вне всякого сомнения, является В-А-С-Н, в которой используется классическая немецкая нотация. В этой нотации си-бемоль обозначается буквой В, ля — буквой А, до — буквой С, си — буквой Н.

Другими известными криптограммами являются:

— ABEGG в честь Meta Abegg в «Вариациях на тему Abegg» Роберта Шумана;

— CAGE в честь Джона Кейджа. Этот мотив использовала Полина Оливейрос;

— GADE в честь Нильса Гаде. Этот мотив использовал Роберт Шуман.

Антон Веберн в своем Струнном квартете, соч. 28 использовал четыре ноты В-А-С-Н и два геометрических преобразования, с помощью которых превратил эти четыре ноты в восемь.

Австрийский композитор Альбан Берг (1885–1935) в своей опере «Воццек» отдает дань уважения трем ведущим представителям венской школы, зашифровав текст в партитуре для каждого инструмента:

— пианино: Арнольд Шёнберг (ADSCHBEG);

— скрипка: Антон Веберн (АЕВЕ);

— труба: Альбан Берг (ABABEG).