Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Числа - основа гармонии. Музыка и математика
Шрифт:

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.

Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование

и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:

Изменение скорости путем изменения темпа метронома.

Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:

«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):

Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:

Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.

Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.

Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).

Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).

Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.

Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.

Гармоническая симметрия

Симметричные аккорды

Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.

В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.

Симметричные звукоряды

В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.

Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:

В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй — с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.

Второй лад — уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает три транспозиции.

Третий лад образован последовательностями тон — полутон — полутон, состоит из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.

Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон — полутон — полтора тона (3 полутона) — полутон, шесть транспозиций.

Пятый лад образует две симметричные группы из четырех звуков: полутон — два тона — полутон и допускает шесть транспозиций.

Поделиться:
Популярные книги

Полковник Империи

Ланцов Михаил Алексеевич
3. Безумный Макс
Фантастика:
альтернативная история
6.58
рейтинг книги
Полковник Империи

Брачный сезон. Сирота

Свободина Виктория
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
7.89
рейтинг книги
Брачный сезон. Сирота

Инферно

Кретов Владимир Владимирович
2. Легенда
Фантастика:
фэнтези
8.57
рейтинг книги
Инферно

Темный Охотник

Розальев Андрей
1. КО: Темный охотник
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Охотник

Восьмое правило дворянина

Герда Александр
8. Истинный дворянин
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восьмое правило дворянина

Неудержимый. Книга XI

Боярский Андрей
11. Неудержимый
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Неудержимый. Книга XI

Я — Легион

Злобин Михаил
3. О чем молчат могилы
Фантастика:
боевая фантастика
7.88
рейтинг книги
Я — Легион

Попаданка в Измену или замуж за дракона

Жарова Анита
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.25
рейтинг книги
Попаданка в Измену или замуж за дракона

Ваше Сиятельство 2

Моури Эрли
2. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство 2

Смертник из рода Валевских. Книга 1

Маханенко Василий Михайлович
1. Смертник из рода Валевских
Фантастика:
фэнтези
рпг
аниме
5.40
рейтинг книги
Смертник из рода Валевских. Книга 1

Титан империи 6

Артемов Александр Александрович
6. Титан Империи
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи 6

Цеховик. Книга 1. Отрицание

Ромов Дмитрий
1. Цеховик
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.75
рейтинг книги
Цеховик. Книга 1. Отрицание

Рота Его Величества

Дроздов Анатолий Федорович
Новые герои
Фантастика:
боевая фантастика
8.55
рейтинг книги
Рота Его Величества

Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор

Марей Соня
1. Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор
Фантастика:
фэнтези
5.50
рейтинг книги
Попаданка в деле, или Ваш любимый доктор