Числа - основа гармонии. Музыка и математика
Шрифт:
* * *
Изолированная неравномерность
Иногда среди равномерного ритма (например, состоящего из долей с ритмическим делением на две части) необходимо точно сыграть несколько долей, разделенных на три части. Подобная смена ритма будет означать, что потребуется смена темпа и такта. Чтобы избежать неоднозначности при записи этой неравномерности (и при восстановлении равномерного ритма), используются дуоли, триоли и так далее.
— Дуоль: ритмическая фигура из двух нот, равная по времени звучания трем нотам:
— Триоль: ритмическая фигура из трех нот,
Дуоли и триоли обозначаются дугой поверх группы нот, под которой указывается число, соответствующее новому числу нот. Рассмотрим пример сложного ритма, в котором меняется темп и размер такта:
Аналогичная упрощенная запись, в которой используются триоли, будет выглядеть так:
* * *
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ТАКТОВ
Интересно сравнить дроби, которыми отмечаются такты, с обычными дробными числами и операциями над ними. Какие операции над дробями, обозначающими такты, совпадают с операциями над дробными числами?
— Сложение дробей. Например, такт размером 3/4 имеет длительность половинной ноты с точкой, что равнозначно половинной ноте (обозначаемой символом
Если заменить обозначения нот соответствующими дробями, получим:
3/4 = 1/2 + 1/4.
— Сокращение дробей. Если сократить дробь, обозначающую такт, полученная дробь будет обозначать новый такт:
6/8 = 3/4.
В этом случае математическое равенство не означает равенство с точки зрения музыки. Длительность обоих тактов будет одинаковой и равной длительности шести восьмых нот (для такта 3/4 — длительности трех четвертных нот, каждая из которых равна двум восьмым).
Однако обозначение 6/8 соответствует сложному метру, а 3/4 — простому, что указывает на важное отличие.
— Наименьшее общее кратное. При полиритмии интерес представляют моменты, когда двухдольный и трехдольный ритм будут накладываться друг на друга на одной доле или на одном такте. Например, в одном такте исполняются две восьмых доли, а другой голос одновременно исполняет триоль из трех восьмых нот:
В этом случае каждый ритм можно исполнить двумя способами, но нужно выбрать какой-то один. Сделать выбор поможет математика: для этого потребуется вычислить наименьшее общее кратное. В нашем примере НОК (2,3) — 6. Это означает, что нужно мысленно разделить такт на шесть равных частей. Восьмые ноты будут исполняться на счет 1 и 4, а триоль — на счет 1,3 и 5.
* * *
Современная нотация
Развитие музыкальной нотации как системы символов на протяжении нескольких веков привело к тому, что она стала удивительно эффективной. В ней сочетаются переменные (ноты и паузы) и постоянные элементы (ритм, ключи, такты), располагающиеся поверх основы (нотного стана). Рассмотрим конкретный пример.
Скорость исполнения мелодии постоянна:
Такты состоят из четвертных нот, на две слабые доли приходится одна сильная, поэтому такты имеют размер 3/4. На следующем рисунке представлена последовательность долей и акцентов, как если бы партитура представляла собой систему координат, в которой на оси абсцисс откладывается время в секундах.
Акценты располагаются равномерно с интервалом в три секунды. Доли выстроены также равномерно с интервалом в одну секунду. Читать подобный график крайне неудобно. Для записи ритма требуются ключи, которые позволили бы упростить запись. Для этого в начале партитуры один раз указываются все постоянные значения: темп, акценты и, наконец, размер такта в уже известной вам системе обозначений (в нашем примере размер такта равен 3/4). Способ указания на темп вы тоже уже знаете:
Сохраняя горизонтальное расположение символов слева направо, подобно тому как располагаются символы на письме в западных языках, мы можем добавить к записи вертикальные линии в конце каждого такта. Это позволяет упростить нотацию:
Так как доли исполняются равномерно и в записи присутствуют вертикальные линии, промежутки между нотами необязательно должны строго соответствовать длительности пауз между ними.
Отсутствие масштаба
Расположение элементов партитуры по горизонтали не соответствует какому-то конкретному масштабу. Это означает, что длительность нот и пауз необязательно зависит от длительности промежутков между нотами на партитуре. Артикуляция выполняется в соответствии с длительностью, которую указывают нота или пауза, а не в зависимости от того, насколько близко расположена следующая нота.
Два такта, изображенные на рисунке, одинаковы:
Однако важно помнить, что при записи двух или более голосов рекомендуется выравнивать по вертикали ноты, исполняемые одновременно, чтобы упростить чтение партитуры. Так, графическое представление трех одновременно исполняемых ритмических фраз будет выглядеть следующим образом:
Глава 3
Геометрия композиции
Кувшин придает форму пустоте, музыка — молчанию.
Жорж Брак
Меня обвиняют в том, что я математик. Но я не математик, я геометр.
Арнольд Шёнберг
Объекты природы имеют подчас очень любопытную форму. При внимательном математическом анализе становится понятно, что растения, животные, кристаллические структуры и звуки подчиняются законам алгебры и геометрии. В природе часто встречаются сферы, циклы, спирали, равно как и симметрия. Художники находят вдохновение в причудливых формах природы и выстраивают свои произведения в новом порядке, подчиняющемся законам эстетики.
Музыка создает образы в представлении слушателей. Мелодии обычно сравнивают с рисунками из точек и линий. Мы уподобляем многие свойства музыки свойствам реальных предметов в пространстве: высокие звуки представляются нам узкими и вытянутыми вверх, низкие, напротив, невысокими и широкими. Подобные представления отчасти отражаются в партитурах. Например, последовательность звуков, высота которых непрерывно возрастает, называется восходящей.
Благодаря этому партитура приобретает дополнительную ценность, так как идея композитора дополняется изображениями, подобно тому как текст книги дополняется иллюстрациями. Это принимали во внимание многие композиторы, когда создавали свои шедевры. История музыки знает немало примеров партитур, в которых слились воедино музыка, письмо и геометрия. (Чтобы вы смогли лучше понять примеры, приводимые в этой главе, советуем сначала ознакомиться с основными элементами современной музыкальной нотации, о которых рассказывается в приложении I.)