Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Дискретная математика без формул
Шрифт:

Проиллюстрируем сказанное:

Коммутативный закон: Об'единение (пересечение) отличников и спортсменов равно об'единеию (пересечению) спортсменов и отличников.

Ассоциативный закон: От изменения порядка об'единения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется.

Дистрибутивный закон (только экзотическая версия): Об'единение красавцев с пересечением спортсменов и отличников равно множеству, в котором пересекаются об'единения красавцев и спортсменов с об'единеием красавцев с отличниками. (В условных обозначениях это было бы гораздо короче и нагляднее, но мы зареклись насчет формул).

Сложновато

воспринимается на слух закон поглощения, который, однако, в ряде случаев позволяет упрощать теоретико-множественные конструкции. Пересечение отличников с об'единением отличников и спортсменов дает множество отличников. Или второй вариант. Об'единение отличников с пересечением отличников и спортсменов дает множество отличников. Тем не мение, если обдумать сказанное, и поразмахивать руками, то справедливость результатов очевидна.

Есть еще закон, название которого почему-то студентов забавляет – он им, видимо, что то-напоминает. А закон этот смело можно отнести к самым важным законам (свойствам). Это закон ИДЕМПОТЕНТНОСТИ. Об'единение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов дает множество спортсменов.

Очень по-французски звучит ЗАКОН Де Моргана: Дополнение об'единения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. И второй вариант. Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно об'единению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. За универсум (для дополнения) можно взять множество студентов группы (или университета, или мира – роли не играет). Возьмите реальных спортсменов с отличниками и убедитесь в справедливости закона.

Очень прост закон ДВОЙНОГО ДОПОЛНЕНИЯ. Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов. Персонально для тех, кто успешно продирается через всю нашу словесную казуистику, можем сформулировать ближайшее следствие из этого закона. Дополнение дополнения дополнения множества спортсменов есть дополнение множества спортсменов.

Самыми экзотическими являются два закона: ПРОТИВОРЕЧИЯи ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО.

Противоречия: Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.

Исключенного третьего: Об'единение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты неспортсмены из универсума, то это об'единение как раз и составляет весь универсум.

Остается только высказать сожаление, что не все математики согласны с этими законами. Еще большее сожаление вызывает то, что у них на это есть весьма веские основания… Не менее веские, чем у сторонников законов.

Несогласные себя называют КОНСТРУКТИВИСТАМИили ИНТУИЦИОНИСТАМИ.

Согласным же ничего не осталось, как назвать самих себя КЛАССИКАМИ… С чем не согласны

несогласные.

Лекция 4. СООТВЕТСТВИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ

Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами…

В математике, как и в жизни, различные об'екты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. Находиться меж собой в определенных отношениях или наоборот – не находится. И основой формализации, если угодно – математизации, здесь также служат множества.

То есть между множествами могут устанавливаться различные СООТВЕТСТВИЯи ОТНОШЕНИЯ. Более того (а серьезные математики может быть даже сказали бы «прежде всего»), множества нередко могут ОТОБРАЖАТЬСЯдруг в друг друга и даже в самих себя…

Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание – преступлению, оценка – знаниям.

Глядя на многочисленные примеры вокруг мы замечаем, что для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить «пары соответствий». Например, область определения – группа ух-005, сдающая экзамен; область значений – отл, хор, уд, неуд – множество оценок. И множество пар Иванов – отл, Петров – хор, Сидоров – отл. А Хведоров – не явился. Вот вам и готовое соответствие.

Соответствия обладают свойствами.

1. В данном случае соответствие НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ, поскольку для Хведорова в этом соответствии нет пары. (Даже если бы мы написали в ведомости Хведоров – н/я, то это все равно бы не попало в соответствие, поскольку «н/я» нет в множестве допустимых значений!). Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Хведорова, как отчисленного, то это соответствие стало бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ

2. Соответствие ФУНКЦИОНАЛЬНО, поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ. В данном случае из-за Хведорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые об'екты. Кстати, не всем математикам нравится такое определение функции, хотя оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность к множествам с позиций некоторых других разделов математики.

Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ. То есть не было бы функцией. (Оно было бы «многозначной [недетерминированной] функцией», но это уже другая математика). Да и в жизни так не бывает.

3. Данное соответствие НЕИН'ЕКТИВНО, поскольку отл получил более, чем один студент. Если бы Сидоров, из-за фатальной предрасположенности к несчастьям, получил не отл, а уд (или неуд), то соответствие было бы ИН'ЕКТИВНЫМ… Получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером ин'ективного соответствия.

Поделиться:
Популярные книги

Эра Мангуста. Том 3

Третьяков Андрей
3. Рос: Мангуст
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Эра Мангуста. Том 3

Завод: назад в СССР

Гуров Валерий Александрович
1. Завод
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Завод: назад в СССР

Рунный маг Системы

Жуковский Лев
1. Рунный маг Системы
Фантастика:
попаданцы
рпг
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Рунный маг Системы

Семья

Опсокополос Алексис
10. Отверженный
Фантастика:
городское фэнтези
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Семья

Контролер

Семин Никита
3. Переломный век
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Контролер

Разочарование. Пятый пояс

Игнатов Михаил Павлович
13. Путь
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Разочарование. Пятый пояс

Сердце Дракона. Том 10

Клеванский Кирилл Сергеевич
10. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
боевая фантастика
7.14
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 10

Неудержимый. Книга XI

Боярский Андрей
11. Неудержимый
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Неудержимый. Книга XI

Лейб-хирург

Дроздов Анатолий Федорович
2. Зауряд-врач
Фантастика:
альтернативная история
7.34
рейтинг книги
Лейб-хирург

Никчёмная Наследница

Кат Зозо
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Никчёмная Наследница

На границе империй. Том 3

INDIGO
3. Фортуна дама переменчивая
Фантастика:
космическая фантастика
5.63
рейтинг книги
На границе империй. Том 3

Отверженный. Дилогия

Опсокополос Алексис
Отверженный
Фантастика:
фэнтези
7.51
рейтинг книги
Отверженный. Дилогия

Последний попаданец

Зубов Константин
1. Последний попаданец
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
рпг
5.00
рейтинг книги
Последний попаданец

Трудовые будни барышни-попаданки 3

Дэвлин Джейд
3. Барышня-попаданка
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Трудовые будни барышни-попаданки 3