Для юных математиков. Веселые задачи

Перельман Яков Исидорович

Если же чашки не будут на одном уровне, то надо от одного куска переложить немного масла на другой и повторять это до тех пор, пока обе порции не будут вполне заменять друг друга на одной и той же чашке весов.

Подобным же образом можно поступать на неверных пружинных весах: перекладывать масло из одного пакета и другой до тех пор, пока оба пакета не будут оттягивать указатель весов до одной и той же черты (хотя бы эта черта и не стояла против 5 килограммов).

Глава VI Искусное разрезывание и сшивание Семь раз отмерь, а раз отрежь

ЗАДАЧА № 51

Флаг морских разбойников

Вы видите здесь флаг морских разбойников. Двенадцать продольных полос на нем обозначают, что в плену у пиратов находятся 12 человек. Когда удается захватить новых пленных, пираты подшивают к флагу

соответствующее число новых полос. Напротив, при утрате каждого пленного они сбавляют одну полосу.

Рис. 41.

На этот раз пираты потеряли двух пленных и, следовательно, должны перешить флаг так, чтобы полос было не 12, а 10.

Можете ли вы указать простой способ разрезать флаг на две такие части, чтобы после сшивания их получился флаг с 10 полосами? При этом не должно пропасть ни клочка материи и флаг должен сохранить прямоугольную форму.

ЗАДАЧА № 52 Красный крест

У сестры милосердия имелся квадратный кусок красной материи, из которого нужно было сшить крест. Она хотела так перешить квадрат, чтобы ни один кусок красной материи не пропал. После долгих поисков ей удалось разрезать квадрат всего на 4 куска, из которых она и сшила крест. В нем было всего два шва, каждый в виде прямой линии.

Рис. 42.

Попробуйте сделать то же самое из квадратного куска бумаги. ЗАДАЧА № 53 Из лоскутков

У другой сестры милосердия были такие обрезки красной материи, какие изображены на рисунке 43-м.

Рис. 43.

Сестра ухитрилась, не разрезав этих лоскутьев, сшить из них крест. Как? ЗАДАЧА № 54 Два креста из одного

У третьей сестры милосердия имелся готовый красный крест из материи; но крест был чересчур велик, и она вырезала из него другой, поменьше, так, что новый был весь из одного куска материи.

Рис. 44.

Когда крест был вырезан, сестра, собирая обрезки, – их оказалось всего 4, – заметила, что из них можно, не разрезая ни одного лоскутка, прямо сшить еще один крест и притом точно такой же величины.

Таким образом, вместо одного креста у нее оказалось два поменьше, одинаковой величины: один цельный, другой составной.

Можете ли вы указать, как сестра это сделала?

ЗАДАЧА № 55 Лунный серп

Эту фигуру лунного серпа требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямых линии.

Как это сделать?

Рис. 45.

ЗАДАЧА № 56 Деление запятой

Вы видите здесь широкую запятую (рис. 46).

Рис. 46.

Она построена очень просто: на прямой АВ описан полукруг и затем на каждой половине линии АВ описаны полукруги – один вправо, другой влево.

Задача состоит в том, чтобы разрезать эту фигуру одной кривой линией на две совершенно одинаковые части.

Фигура эта интересна еще и тем, что из двух таких фигур можно составить круг. Как?

ЗАДАЧА № 57 Развернуть куб

Если вы разрежете картонный куб вдоль ребер так, чтобы его можно было разогнуть и положить всеми 6 квадратами на стол, то получите фигуру вроде трех следующих:

Рис. 47.

Любопытно сосчитать: сколько различных фигур можно получить таким путем? Другими словами: сколькими способами можно развернуть куб на плоскости?

Предупреждаю нетерпеливого читателя, что различных фигур не менее десяти.

ЗАДАЧА № 58 Составить квадрат

Можете ли вы составить квадрат из 5 кусков бумаги такой формы (рис. 48)?

Рис. 48

Если вы догадались, как решить эту задачу, попробуйте составить квадрат из пяти одинаковых треугольников такой же формы, как те, с которыми мы сейчас имели дело (один катет вдвое длиннее другого). Вы можете разрезать один треугольник на две части, но остальные 4 должны итти в дело нерезанными.

Рис. 49.

ЗАДАЧА № 59 Четыре колодца

На квадратном участке земли имеются четыре колодца: три рядом близ края участка и один в углу.

Рис. 50.

Участок перешел к четырем арендаторам, которые и решили разделить его между собой, но так, чтобы у всех были участки совершенно одинаковой формы, и чтобы на каждом из них находился колодец.

Можно ли это сделать?

ЗАДАЧА № 60 Куда девался квадратик?

В заключение наших занятий с разрезыванием фигур покажу читателю интересный пример разрезывания, при котором неизвестно куда исчезает кусочек фигуры.

На клетчатой бумаге обчерчиваю квадрат, заключающий в себе 64 маленьких квадратика. Затем провожу косую линию слева направо, начиная с той точки, где вверху сходятся первый и второй квадратики, и кончая правым нижним углом большого квадрата. Противоположный конец этой косой линии разрежет пополам последний квадратик справа, и в нем образуются два треугольничка. Нижний треугольничек обозначим буквой С. Всю левую часть чертежа обозначим буквой А, а правую – буквой В. Теперь разрезаю чертеж по косой линии и двигаю правую часть косо вверх по разрезу так, чтобы эта часть поднялась на один ряд квадратиков. Вверху окажется при этом маленький пустой треугольничек, а внизу направо будет выдаваться треугольничек С. Беру ножницы, отрезаю выступающий маленький треугольничек С и помещаю его вверху – там, где остался незанятый треугольник.

Рис. 51.

Он приходится сюда как раз впору.

Теперь у нас получается прямоугольник, имеющий 7 квадратиков в высоту и 9 квадратиков в ширину. Но 7x9 = 63. Значит, наш прямоугольник заключает теперь всего 63 квадратика, между тем как прежде их было 64.

Куда же девался один квадратик?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60

Решение задачи № 51

Нужно разрезать флаг по ступенчатой линии, обозначенной здесь на рисунке.

Рис. 52.

Теперь остается только передвинуть нижнюю часть флага вверх на одну ступеньку и сшить. Получится флаг уже не с 12 полосами, а с 10-ю. Он стал более продолговатым, но ни одного клочка материи не убавилось. Решение задачи № 52

Сестра разрезала квадратный кусок материи на 4 части следующим образом (пунктиром показано, как она намечала линии разреза: от вершин квадрата к середине сторон). Из этих 4 кусков сестра сшила крест (рисунок 54).

Рис. 53.

Рис. 54.

Как видите, в нем всего два шва. Решение задачи № 53

Вот как сестра сшила крест из обрезков:

Рис. 55.

Решение задачи № 54

Способ, каким сестра вырезала малый крест из большого и составила еще один крест из обрезков, показан здесь на чертежах:

Рис. 56.

Решение задачи № 55

Сделать надо так, как показано на прилагаемом чертеже. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.

Рис. 57.