Для юных математиков. Веселые задачи

Перельман Яков Исидорович

Откуда же взялась нога у правой фигуры? ЗАДАЧА № 100 Два квадрата из одного

Мне привезли из Китая маленькую квадратную коробочку с танграммами, уложенными в ней вплотную двумя слоями – каждый слой представлял собою квадрат. Следовательно, из 7 танграммов можно сложить не только один квадрат, но и два одинаковых.

Как это сделать?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 91-100

Решение задачи № 91

Рис. 89.

Решение задачи № 92

Рис. 90.

Решение задачи № 93

Рис. 91.

Решение задачи № 94

Способ сложения силуэтов показан на приложенных чертежах (рис. 92).

Рис. 92.

Решение задачи № 95

Все фигуры, изображенные на таблице 85-й, можно сложить из танграммов (см. таблицу 94-ю), – за исключением одной – лебедя. Здесь, на рис. 93-м показано, какие очертания имеет фигура лебедя, если ее правильно составить из танграммов.

Рис. 93.

Рис. 94.

Решение задачи № 96

Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собою силуэты, все они представляют собою видоизменения первоначального квадрата и, конечно, равны ему по площади.

Решение задачи № 97

Рис. 95.

Решение

задачи № 98

Каждый из больших треугольников составляет по площади 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, составляет 1/8 долю квадрата. Каждый из маленьких треугольников вдвое меньше среднего, и, значит, площадь каждого = 1/16 доле площади квадрата.

Параллелограмм и квадратик можно составить из двух маленьких треугольников; следовательно, каждая из этих фигур = 1/8 площади первоначального квадрата.

Решение задачи № 99

На прилагаемом чертеже 96-м показано, как составлены обе фигуры.

Первая, безногая фигура чуть-чуть толще второй, – именно на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ногу, и площадь этой «ноги» в точности равна упомянутой избыточной полоске.

Рис. 96.

Решение задачи № 100 Один из двух квадратов составляется двумя большими треугольниками. Сделав это, нетрудно уже из остальных 5 танграммов составить второй квадрат.

Вторая сотня головоломок

Предисловие

Выпущенный мною в 1915 году первый сборник головоломок для юных математиков («Веселые задачи») получил применение и распространение гораздо более обширные, чем можно было ожидать [9] . Успех первой книжки побудил меня наряду с ее переизданием, выпустить еще один сборник подобного же характера, чтобы дать юным любителям математики более обширное поле для изощрения своих способностей. Книжка эта лежит перед читателем. Несмотря на подзаголовок (вторая сотня головоломок), она не стоит в необходимой связи с первой. Это просто серия других упражнений, в общем не труднее и не легче предложенных в первом сборнике. Материал умышленно подобран здесь не однородный по трудности, чтобы каждый из юных читателей мог найти упражнения, соответствующие его силам. Значительная часть задач (около половины общего числа) придумана мною, большинство остальных принадлежит к мало использованным и в русском сборнике появляется впервые. Как и первая книжка, этот сборник не преследует учебных целей, а имеет лишь в виду приятной умственной гимнастикой изощрить сообразительность и тем подготовить юный ум к более серьезной работе в будущем [10] .

Я. П.

Глава I Задачи из «Путешествий Гулливера»

Рис. 1.

Самые удивительные страницы в «Путешествиях Гулливера по многим отдаленным странам» – без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в стране крошечных лилипутов и в стране великанов «бробдиньягов». В стране лилипутов размеры – высота, ширина, толщина – всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов, наоборот, – в 12 раз больше. Почему автор «Путешествий» избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше – как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако отличие природы и жизни в этих фантастических странах от тех, к каким мы привыкли, оказалось поразительным. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям. ЗАДАЧА № 1 Паек и обед Гулливера

Лилипуты, – читаем мы в «Путешествиях», – установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов:

«Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1724 подданных страны лилипутов».

«Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили боченки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков».

Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для прокормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом, нежели лилипуты. Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера и лилипутов?

ЗАДАЧА № 2 Бочка и ведро лилипутов

«Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, – но больше у них не было».

Рис 2. Обед Гулливера в стране лилипутов.

В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка».

Такие крошечные бочки и ведра могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз?

ЗАДАЧА № 3 Животные страны лилипутов

«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.

Не кажется ли вам, что 500 лошадей – чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей?

О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, – что, уезжая, он попросту «посадил их в свой карман».

Возможно ли это?

ЗАДАЧА № 4 Жесткая постель

О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в «Путешествии Гулливера» следующее:

«Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, – но даже и на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу».

Почему же Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли весь приведенный здесь расчет?

ЗАДАЧА № 5 Триста портных

«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам».

Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутского?

ЗАДАЧА № 6 Лодка Гулливера

Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим размеры самых крупных судов их флота.

Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения [11] имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?

ЗАДАЧА № 7 Исполинские яблоки и орехи

«Один раз, – читаем мы в «Путешествиях Гулливера» к бробдиньягам (великанам), – с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним из деревьев, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной каждое с хороший боченок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног»…

Рис. 3. Яблоки страны великанов.

В другой раз – «какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне в голову и едва не попал, – а брошен был орех с такою силой, что неминуемо размозжил бы мне череп, так как был немногим меньше нашей небольшой тыквы».

Сколько примерно могли, по вашему мнению, весить яблоко и орех страны великанов?

ЗАДАЧА № 8 Кольцо великанов

В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, – «золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье».

Возможно ли, чтобы колечко с мизинца хотя бы и великанши годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько, примерно, должно было такое кольцо весить?

ЗАДАЧА № 9 Книги великанов

О книгах в стране великанов Гулливер сообщает такие подробности:

«Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, – но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50-ти футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10-ти от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. По мере того, как чтенье подвигалось вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было не трудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не более 18–20 футов в длину».

Соразмерно ли все это?

Рис. 4. Гулливер читает книгу в стране великанов.

ЗАДАЧА № 10 Воротники великанов

В заключение остановимся на задаче этого рода, но заимствованной непосредственно из описания Гулливеровых приключений.

Вам, быть может, не было известно, что номер воротничка есть не что иное, как число сантиметров в его окружности. Если окружность вашей шеи 36 сантиметров, то вам подойдет воротник только № 36; воротник номером меньше будет тесен, а номером больше – просторен. Окружность шеи взрослого человека в среднем около 40 сантиметров.

Если бы Гулливер желал в Лондоне заказать партию воротников для обитателей страны великанов, то какой № он должен был бы заказать?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 1-10

Решение задачи № 1

Расчет был сделан совершенно верно, – если не считать маленькой арифметической ошибки. Не надо забывать, что лилипуты представляли собой точное, хотя и уменьшенное, подобие обыкновенных людей, с нормальной пропорцией частей тела. Следовательно, они были не только в 12 раз ниже ростом, но и в 12 раз ýже и в 12 раз тоньше Гулливера. Объем их тела поэтому был меньше объема тела Гулливера не в 12 раз, а в 12x12x12, т. е. в 1728 раз. И, конечно, для поддержания жизни такого тела надо соответственно меньше пищи. Вот почему лилипуты и рассчитали, что Гулливеру нужен паек, достаточный для прокормления 1728 лилипутов (у Свифта ошибочно указано 1724).

Теперь понятно, для чего понадобилось и так много поваров. Чтобы приготовить 1728 обедов, нужно не менее 300 поваров, считая, что один повар-лилипут может сварить полдюжины лилипутских обедов. Соответственно большое число людей необходимо было и для того, чтобы поднять такой груз на высоту Гулливерова стола, который был – как легко рассчитать – высотой с трехэтажный дом лилипутов.

Решение задачи № 2

Бочки и ведра лилипутов, если имели такую же форму, как наши, не только в 12 раз меньше наших по высоте, но и в 12 раз меньше по ширине и толщине, а следовательно, по объему меньше в 12x12x12 = 1728 раз. Значит, считая в нашем ведре 60 стаканов, мы легко можем рассчитать, что ведро лилипутов вмещало всего только 60/1728 или круглым числом 1/30 стакана. Это немногим больше чайной ложки и, действительно, не превышает вместимости крупного наперстка.

Если вместимость ведра лилипутов почти равна чайной ложке, то вместимость винного боченка, – даже если он был 10-ведерный, – не превышала 1/3 стакана. Что же удивительного, что Гулливер не мог утолить жажды даже двумя такими бочками!

Решение задачи № 3

Мы уже подсчитали в первой задаче, что Гулливер по объему тела был больше лилипутов в 1728 раз. Разумеется, он был во столько же раз и тяжелее. Перевезти его тело на лошадях лилипутам было так же трудно, как перевезти 1728 лилипутов. Отсюда понятно, зачем в повозку с Гулливером понадобилось впрячь такое множество лошадей.

Животные страны лилипутов были тоже в 1728 раз меньше по объему и, значит, во столько же раз легче, чем наши.

Наша корова имеет в высоту аршина два и весит 50 пудов. Корова лилипутов была меньше трех вершков росту и весила 50/1728 пуда, т. е. немногим больше одного фунта. Разумеется, такую игрушечную корову можно при желании уместить в кармане.

«Самые крупные их лошади и быки, – вполне правдоподобно рассказывает Гулливер, – были не выше 4–5 дюймов, овцы – около 1 1/2 дюйма, гуси – величиной с нашего воробья и т. д. до самых мелких животных. Их мелкие животные были почти невидимы для моих глаз. Я видел, как повар ощипывал жаворонка величиной с нашу обыкновенную муху, если не меньше; в другой раз молодая девушка при мне вдевала невидимую нитку в невидимую иглу».

Решение задачи № 4

Расчет сделан вполне правильно. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и, конечно, в 12 раз ýже тюфяка обычных размеров, то поверхность его была в 12x12 раз меньше поверхности нашего тюфяка. Чтобы улечься, Гулливеру нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом – 150) лилипутских тюфяка. Но такой тюфяк был очень тонок – в 12 раз тоньше нашего. Теперь понятно, что даже 4 слоя подобных тюфяков не представили достаточно мягкого ложа: получился тюфяк втрое более тонкий, чем наш обыкновенный.

Решение задачи № 5

Поверхность тела Гулливера была не в 12 раз больше поверхностн тела лилипутов, а в 12x12, т. е. в 144 раза. Это станет понятно, если мы представим себе, что каждому квадратному дюйму поверхности тела лилипута соответствует квадратный фут поверхности тела Гулливера, а в квадратном футе 144 квадратных дюймов. Раз так, то на костюм Гулливера должно было пойти в 144 раза больше сукна, чем на костюм лилипута, и, значит, соответственно больше рабочего времени. Если один портной может сшить костюм в 2 дня, то, чтобы сшить в один день 144 костюма (или один костюм Гулливера), могло понадобиться именно около 300 портных.

Решение задачи № 6

Лодка Гулливера могла поднять 20 пудов; следовательно ее водоизмещение – 20/60 = 1/3 тонны. Тонна – это вес кубического метра воды; значит, лодка вытесняла 1/3 куб. метра. Но все линейные меры лилипутов в 12 раз меньше наших, кубические же – в 1728 раз меньше. Легко сообразить, что 1/3 нашего кубич. метра заключала около 575 куб. метров страны лилипутов и что лодка Гулливера имела водоизмещение в 575 тонн (или около того, так как исходное число, 20 пудов, взято нами произвольно).

В наши дни, когда океаны бороздят суда в десятки тысяч тонн, корабль таких размеров никого не удивит, – но нужно иметь в виду, что в те времена, когда было написано «Путешествие Гулливера» (в начале XVIII века), суда в 500–600 тонн были редкостью.

Решение задачи № 7

Легко рассчитать, что яблоко, которое весит у нас около четверти фунта, должно было в стране великанов весить, соответственно своему объему, в 1728 раз больше, т. е. 432 фунта, или почти 11 пудов! Такое яблоко, ударив человека в спину, едва ли оставит его в живых, так что Гулливер отделался чересчур легко от угрожавшей ему опасности быть раздавленным 11-пудовым грузом.

Орех страны великанов должен был весить фунтов 8–9, если принять, что наш орех весит около 1/2 золотника; в поперечнике исполинский орех мог иметь дюйма 4. Восьмифунтовый твердый предмет, брошенный со скоростью орешка, конечно, неминуемо должен был размозжить голову человеку нормальных размеров. И когда в другом месте Гулливер рассказывает, что обыкновенный град в стране великанов мгновенно повалил его на землю и что градины его «жестоко колотили по спине, по бокам и по всему телу, словно большие деревянные шары, какими играют в крокет», – то это вполне правдоподобно, потому что каждая градина страны великанов должна весить не меньше нескольких фунтов.

Решение задачи № 8

Поперечник мизинца человека нормальных размеров около 1/2 сантиметра. Умножив на 12, имеем для поперечника кольца великанши 1 1/2 x 12 = 18 сантиметров; кольцо с таким просветом имеет окружность – 18 x 3 1/7 = около 56 сантиметров. Это как раз достаточные размеры, чтобы возможно было просунуть через него голову нормальной величины (в чем легко убедиться, измерив бечевкой окружность своей головы в самом широком месте).

Что касается веса такого кольца, то, если обыкновенное колечко весит, скажем, один золотник, такого же фасона кольцо из страны великанов должно было весить 1728 золотников, т. е. немногим менее полупуда.

Решение задачи № 9

Если исходить из размеров современной книги обычного формата (сантиметров 25 длиной и 12 шириной), то описанное Гулливером представится несколько преувеличенным. Чтобы читать книгу менее 3 метров вышины и полутора метров ширины, можно обойтись без лестницы и нет надобности ходить вправо и влево на 8-10 шагов. Но во времена Свифта, в начале XVIII века, обычный формат книг (фолиантов) был гораздо больше, чем теперь. Фолиант, например, «Арифметики» Магницкого, вышедшей при Петре Великом, – имел размеры: около 30 сантиметров в высоту и 20 в ширину. Увеличивая в 12 раз, получаем для книг великанов более внушительные размеры: 360 сантиметров (почти 4 метра) в высоту и 240 см. в ширину (2 1/2 метра). Читать четырехметровую книгу без лестницы нельзя; но и тут не пришлось бы, переходя от одной строки к другой, делать 8-10 шагов, так что последняя подробность у Свифта безусловно является преувеличением.

Подобный фолиант должен весить в 1728 раз больше, нежели наш, т. е. пудов 70–80. Считая, что в нем 500 листов, получаем для каждого листа книги великанов вес около 11–13 фунтов. Перелистывать такие страницы, конечно, не трудно.

Буквы в книгах великанов имели около 2–3 см высоты; читать такую крупную печать с расстояния 10 футов, как читал Гулливер, очень удобно.

Решение задачи № 10

Окружность шеи великанов была больше окружности шеи нормального человека во столько же раз, во сколько раз был больше ее поперечник, т. е. в 12 раз. И если нормальному человеку нужен № 40, то для великана понадобился бы №:

40x12 = 480.

Глава II Задачи со спичками

ЗАДАЧА № 11

Из шести три

Перед вами (рис. 5) фигура, составленная из 17 спичек. Вы видите в ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит в том, чтобы убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, – и осталось бы всего 3 квадрата.

Рис. 5.

ЗАДАЧА № 12 Оставить пять квадратов

В решетке из спичек, представленной на рис. 6-м, нужно так убрать 4 спички, – не трогая остальных, – чтобы осталось пять квадратов.

Рис. 6.

ЗАДАЧА № 13 Оставить четыре квадрата

Из той же фигуры (рис. 6) тáк выньте 8 спичек, – не трогая других, – чтобы оставшиеся спички составляли 4 одинаковых квадрата.

ЗАДАЧА № 14 Оставить три квадрата

В той же решетке (рис. 6) тáк уберите 6 спичек, – не перекладывая остальных, – чтобы осталось всего 3 квадрата.

ЗАДАЧА № 15 Оставить два квадрата

И наконец, в той же фигуре (рис. 6) тáк уберите 8 спичек, – не трогая остальных, – чтобы осталось всего лишь два квадрата.

ЗАДАЧА № 16 Шесть четырехугольников

В фигуре, представленной на рис. 7, нужно тáк переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.

Рис. 7.