Для юных математиков. Веселые задачи

Перельман Яков Исидорович

Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, одно другому противоречие.

Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; существуют места на земле, где такое определение времени вполне применимо и относится к некоторому реальному моменту.

Где же и когда это бывает?

ЗАДАЧА № 73

Рост Езопа [16]

«Уверяют, что Езопова голова была длиною 7 дюймов, а ноги так длинны, как голова и половина туловища; туловище ж равно длине ног с головою.

Спрашивается рост сего славного человека».

ЗАДАЧА № 74

Пять обрывков цепи

Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой – они изображены здесь на рисунке (черт. 58) – и поручили соединить их в одну цепь.

Рис. 58. Обрывки цепи.

Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать о том, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придется раскрыть и снова заковать четыре кольца.

Нельзя ли, однако, выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?

ЗАДАЧА № 75 Четырьмя пятерками

Нужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединяя их знаками действий.

Как это сделать?

ЗАДАЧА № 76 Вишня

Мякоть вишни окружает ее косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить

в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

ЗАДАЧА № 77 Дыни

Продаются две дыни. Одна, окружностью 72 сантиметра, стоит 40 рублей. Другая, окружностью 60 сантиметров, стоит 25 рублей.

Какую дыню выгоднее купить?

ЗАДАЧА № 78 Удивительная затычка

В доске выпилены три отверстия: одно – квадратное, другое – круглое, третье – в форме креста. На нашем чертеже 59-м вы видите эти отверстия.

Рис. 59. Заткнуть эти отверстия одной и той же затычкой.

Нужно изготовить затычку такого фасона, чтобы она годилась для каждого из этих отверстий.

Вам кажется, что такой всеобщей затычки быть не может: отверстия чересчур разнообразны по форме.

Могу вас уверить, что подобная затычка существует. Попытайтесь найти ее.

ЗАДАЧА № 79 Модель башни Эйфеля

Башня Эйфеля в Париже, 300 метров высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее 8000000 килограммов. У моего знакомого есть точная модель знаменитой башни, весящая всего только один килограмм.

Какой она высоты? Выше стакана или ниже?

ЗАДАЧА № 80 Муха на ленте

У меня была в руках длинная бумажная лента, с одной стороны красная, с другой – белая. Я склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол.

Внимание мое привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и нигде не переползала через ее край. Продолжая следить за ее движениями, я вскоре увидел ее снова на красной стороне ленты, хотя положительно мог утверждать, что она не переступала и не перелетала через края ленты и ползла все время, не покидая ее. Не объясните ли вы, как могло это случиться?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 71-80

Решение задачи № 71

Если бы земля была совершенно плоская, линия горизонта и в таком случае была бы окружностью!

Действительно: что такое горизонт? Линия, по которой небесный свод кажущимся образом встречается с землей. Но свод небесный имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии может пересекаться шаровая поверхность с плоскостью, как не по окружности?

Итак, круглая форма горизонта сама по себе не доказывает еще, что земля кругла!

Решение задачи № 72

Где? За полярным кругом.

Когда? Около 21-го декабря, когда зимнее солнце лишь на мгновение показывается верхним краем из-под горизонта в 12 часов дня, чтобы тотчас же скрыться снова под горизонт.

Действительно. Этот момент есть «утро», так как совпадает с восходом солнца; но он в то же время и вечер, так как совпадает с заходом солнца. Это безусловно полдень – 12 часов дня, и, конечно, рассвет, так как, пока солнце еще не вынырнуло из-под горизонта, длится утренняя заря. Итак, это – «рано утром, вечерком, в полдень, на рассвете».

Решение задачи № 73

Мы знаем из условия задачи, что ноги Езопа равны 7 дюймам (голова) + длина половины туловища. Известно еще, что туловище = длине ног + 7 дюймов, откуда длина ног = туловищу без 7 д. Итак, ноги Езопа = длине половины туловища + 7 дюймов, и в то же время = туловищу без 7 дюймов. Значит

1/2 туловища + 7 д. = туловищу – 7 д.,

или: туловище длиннее 1/2 туловища на 14 д., откуда 1/2 туловища = 14 дюйм., а все туловище = 28 дюйм. Прибавив длину головы и ног (которые вместе = туловищу, т. е. 28 д.), получаем рост Езопа: 56 дюймов, или 2 аршина.

Решение задачи № 74

Достаточно разогнуть только три кольца одного из обрывков и полученными кольцами соединить концы остальных четырех обрывков.

Решение задачи № 75

Существует только один способ:

55/5 + 5 = 16.

Решение задачи № 76

Толщина слоя мякоти равна поперечнику косточки, – значит, поперечник вишни в 3 раза больше поперечника косточки. Отсюда объем вишни больше объема косточки в 3x3x3 = 27 раз. И, следовательно, объем мякоти больше объема косточки в 27-1 = 26 раз.

Решение задачи № 77

Окружность большой дыни (72 см) превышает окружность меньшей (60 см) в 24/20, т. е. в 1 1/5 раза. Таково же и отношение ее поперечника к поперечнику меньшей дыни.

Ее объем больше в

 раз. Если меньшая дыня стоит 25 рублей, то большая должна стоить 25 x 216/125 = 216/5 = 43 р. 20 к. Между тем дыня стоит всего 40 рублей. Ясно, что ее купить выгоднее, чем меньшую.

Решение задачи № 78

Искомая затычка имеет форму, изображенную здесь на чертеже 60-м. Вы можете заткнуть ею и квадратное отверстие, и круглое, и крестообразное.

Рис. 60.

Решение задачи № 79

Модель весом 1 килограмм гораздо выше стакана, потому что – как это ни неожиданно, – она имеет в высоту 1 1/2 метра! В самом деле: модель меньше самой башни по объему во столько раз, во сколько 1 килограмм меньше 8000000 килограммов, т. е. в 8000000 раз. Значит, высота модели меньше высоты башни в такое число раз, которое, будучи дважды умножено на себя, составит 8000000; число это 200, потому что 200x200x200 = 8000000. Разделив высоту Эйфелевой башни, 300 метров, на 200, получаем 1 1/2 метра (около двух аршин). Результат довольно странный. 1 1/2-метровое железное изделие весит всего 1килограмм! Это объясняется тем, что Эйфелева башня – сооружение, при своих больших размерах, необыкновенно легкое, как говорят – «ажурное».

Решение задачи № 80

Загадка объясняется тем, что один конец ленты, прежде чем его приклеили к другому, был повернут один раз. Легко убедиться на опыте, что тогда получается кольцо, ползая по которому, муха может обойти обе его стороны, нигде не переступая через края.

Рис. 61.

Глава IX Еще десять разных задач

ЗАДАЧА № 81

Кто больше?

Двое человек считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них на тротуаре. Один из считавших стоял у ворот дома, другой прохаживался туда и назад по тротуару.

Кто насчитал больше прохожих?

ЗАДАЧА № 82

Возраст моего сына

Теперь мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза.

Сколько ему лет?

ЗАДАЧА № 83

Состязание

Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется пройти 24 версты туда и назад в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно – со скоростью 24 версты в час.

Победила на состязании первая лодка, – хотя, казалось бы, вторая должна была на пути в одном направлении отстать от первой ровно на столько же, на сколько она опережала ее на обратном пути, и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она опоздала?

ЗАДАЧА № 84

По реке и по озеру

Плывя вниз по реке, гребец проплывает 5-верстное расстояние в 10 минут. Возвращаясь, он проплывает то же расстояние в час. Следовательно, 10 верст он, при указанных условиях, проплывает в 1 час 10 минут.

А во сколько времени проплыл бы он 10 верст в стоячей воде озера?

ЗАДАЧА № 85

От Энска до Иксограда

Плывя по течению, пароход делает 20 верст в час; плывя против течения – всего 15 верст в час. Чтобы пройти от пристани гор. Энска до пристани гор. Иксограда, он употребляет на 5 часов меньше, чем на обратный путь.

Как далеко от Энска до Иксограда?

ЗАДАЧА № 86

Всмятку и вкрутую

Хозяйка сварила 5 яиц: два вкрутую и три всмятку. Но она забыла отметить, какие именно яйца сварены вкрутую и какие – всмятку, и подала их к столу на одном блюде.

Вы наудачу берете с блюда два яйца. Есть ли вам расчет биться об заклад, ставя один рубль против пяти, что вам попадутся оба крутых яйца?

ЗАДАЧА № 87

Игральная кость

Вот игральная кость (черт. 62): кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6. Петр бьется об заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, то за все четыре раза кубик непременно упадет один раз единичным очком кверху.

Рис. 62.

Владимир же ставит против него: он утверждает, что единичное очко либо совсем не выпадет при четырех метаниях, либо же выпадет больше одного раза. У кого из них больше вероятия выиграть? ЗАДАЧА № 88 Семеро друзей

У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй – каждый второй вечер, третий – каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и т. д. до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей собирались у хозяина в один и тот же вечер?

ЗАДАЧА № 89 Продолжение предыдущей

В те вечера, когда семеро друзей собирались вместе, хозяин угощал их вином, и все чокались друг с другом попарно.

Сколько раз звучали при этом стаканы, сталкиваясь между собою?

ЗАДАЧА № 90 Основание Карфагена

Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и, благодаря такой уловке, охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. метра, а ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, принять равной одному миллиметру.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 81-90

Решение задачи № 81

Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, хотя тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе стороны, но тот, кто ходил, видел зато вдвое больше встречных людей.

Решение задачи № 82

Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на двойной его возраст. Пять лет назад отец был также, конечно, старше сына на двойной нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на тройной его тогдашний возраст. Следовательно, двойной нынешний возраст сына равен тройному прежнему возрасту его, или – что то же самое, – сын теперь в 1 1/2 раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет – это половина прежнего возраста сына; и, значит, пять лет назад сыну было 10 лет, а теперь ему 15 лет.

Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Действительно: пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.

Решение задачи № 83

Вторая лодка опоздала потому, что двигалась с 24-верстной скоростью меньшее время, чем с 16-верстной. Действительно, с 24-верстною скоростью она двигалась 24/24 = 1 час, а с 16-верстною 24/16 = 1 1/2часа. Поэтому она на пути туда потеряла времени больше, чем выгадала на обратном пути.

Решение задачи № 84

По течению гребец плывет со скоростью полверсты в минуту, против течения – со скоростью 1/12 версты. В первую скорость включена скорость самого течения, от второй она отнята. Следовательно, 1/2 + 1/12, т. е. 7/12 версты, деленное пополам (7/24 в.) – это истинная скорость самого гребца.

И, значит, в стоячей воде гребец пройдет 10 верст в

10 : 7/24 = 34 2/7 минуты.

Обычный же ответ – что в озере гребец проплывет 10 верст в то же время, как и в реке, так как потеря скорости будто бы восполняется выигрышем ее – совершенно не верен (см. предыдущую задачу).

Решение задачи № 85

Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 минуты; плывя против течения – 1 версту в 4 минуты. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 минуту. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 часов, или 300 минут, то, следовательно, от Энска до Иксограда 300 верст.

Действительно:

300/15 – 300/20 = 20 – 15 = 5.

Решение задачи № 86

Если, для удобства обозначения, перенумеровать яйца, то у нас будут

крутое № 1 …………… к1

крутое № 2 …………… к2

всмятку № 1 …………… с1

всмятку № 2 …………… с2

всмятку № 3 …………… с3

Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:

к1 к2

к1 с1

к1 с2

к1 с3

к2 с1

к2 с2

к2 с3

с1 с2

с1 с3

с2 с3

Мы видим, что только одна пара – именно первая – состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания. Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9-ти случаях из 10-ти вы проигрываете. И если вы ставите 1 рубль, то ваш партнер, имеющий 9 шансов выиграть, должен, для уравнения шансов, поставить не 5, а 9 рублей. Решение задачи № 87

При 4-х метаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6x6x6x6 = 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих метаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра (т. е. выпадений любых очков, кроме единичного) = 5x5x5 = 125. Точно также возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадет только при втором, только при третьем или только при четвертом метании. Итак, существует 125+125+125+125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при 4-х метаниях появилось один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296-500 = 796 (так как неблагоприятны все остальные случаи).

Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.

Решение задачи № 88

Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли встречаться только через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420.

Следовательно друзья сходились все вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).

Решение задачи № 89

Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 друзей) чокается с 7 остальными; всего, значит, сочетаний по два насчитывается 8x8 = 56. Но при этом каждая пара считалась дважды (например, 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м считались за разные пары). Следовательно, стаканы звучали

56/2 = 28 раз.

Решение задачи № 90 Если площадь воловьей шкуры 4 квадр. метра или 4000000 кв. миллиметров, а ширина ремня 1 миллиметр, то общая длина вырезанного ремня (вероятно, Дидона вырезала его из шкуры спирально) – 4000000 миллиметров, то есть 4000 метров, или 4 километра. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью в 1 кв. километр (около 90 десятин).