Для юных математиков. Веселые задачи

Перельман Яков Исидорович

ЗАДАЧА № 17 Из дюжины спичек

Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы:

три одинаковых четырехугольника и

два одинаковых треугольника.

Как это сделать?

ЗАДАЧА № 18 Из полутора дюжин

Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого. Спичек, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.

ЗАДАЧА № 19 Два пятиугольника

Если вам удалось решить предыдущую задачу, попытайте силы на такой головоломке:

Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого. Прочие условия те же, что и в предыдущей задаче.

ЗАДАЧА № 20 Из 19 и из 12

На чертеже 8-м вы видите, как можно 19-ю целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков.

Рис. 8.

А можно ли ограничить шесть одинаковых участков, хотя бы и иной формы – 12-ю целыми спичками?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СО СПИЧКАМИ (№№ 11–20)

Решение задачи № 11

видно из чертежа 9-го.

Рис. 9.

Решения задач №№ 12, 13, 14 и 15

показаны

на чертежах 10-м, 11-м, 12-м, 13-м, 14-м.

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

Решение задачи № 16

Рис. 15.

Решение задачи № 17

показано на чертеже 16-м. Это равносторонний шестиугольник (но не правильный – углы неравны).

Рис. 16.

Решение задачи № 18

показано на чертеже 17-м. Площадь левой фигуры заключает два квадрата, каждый со сторонами в 1 спичку. Правый четырехугольник представляет собою параллелограмм, высота которого AB = 1 1/2спичкам. Площадь его, по правилам геометрии, равна его основанию, умноженному на высоту: 4x1 1/2 = 6, – т. е. втрое больше площади левого четырехугольника.

Рис. 17.

Решение задач №№ 19 и 20

наглядно показано на прилагаемых чертежах 18 и 19.

Рис. 18.

Рис. 19.

Глава III Вес и взвешивание

ЗАДАЧА № 21

Вес бревна

Круглое бревно весит тридцать килограммов. Сколько весило бы оно, если бы было втрое толще, но вдвое короче?

ЗАДАЧА № 22

Десятичные весы

Сто килограммов железных гвоздей уравновешены на десятичных весах железными гирями. Весы затопило водой. Сохранили ли они равновесие и под водой?

ЗАДАЧА № 23

Вес бутылки

Бутылка, наполненная керосином, весит 1000 граммов. Та же бутылка, наполненная кислотой, весит 1600 граммов. Кислота вдвое тяжелее керосина.

Сколько весит бутылка?

ЗАДАЧА № 24

Брусок мыла

На одной чашке весов положен брусок мыла, на другой 3/4 такого же бруска и еще 3/4 килограмма. Весы в равновесии.

Рис. 20. Сколько весит брусок мыла?

Сколько весит целый брусок мыла?

Постарайтесь решить эту несложную задачу устно, без карандаша и бумаги.

ЗАДАЧА № 25 Кошки и котята

Из прилагаемого рисунка 21-го вы усматриваете, что

4 кошки и 3 котенка весят 15 килограммов, а

3 кошки и 4 котенка весят 13 килограммов.

Рис. 21. Сколько весят кошка и котенок порознь?

Сколько же весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности?

Постарайтесь и эту задачу решить устно.

ЗАДАЧА № 26 Раковина и бусины

Рисунок 22-й показывает вам, что 3 детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12-ю бусинами, и что, далее, 1 раковина уравновешивается 1 кубиком и 8-ю бусинами.

Сколько же бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?

Рис. 22. Задача о раковине и бусинах.

ЗАДАЧА № 27 Вес фруктов

Вот еще задача в том же роде. Рисунок 23-й показывает, что

3 яблочка и 1 груша весят столько, сколько 10 персиков, а

6 персиков и 1 яблочко весят столько, сколько 1 груша.

Сколько же персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?

Рис. 23. Задача о груше и персиках.

ЗАДАЧА № 28 Сколько стаканов?

На рисунках 24-а и 24-б вы видите, что бутылка и стакан уравновешиваются кувшином; бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем; два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами.

Рис. 24-а. Задача о стаканах и бутылке.

Рис. 24-б. Чем уравновесить бутылку?

Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку? ЗАДАЧА № 29 Гирей и молотком

Надо развесить 2 килограмма сахарного песку на 200 граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 граммов.

Рис. 25. Затруднение при развешивании.

Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком? ЗАДАЧА № 30 Задача Архимеда

Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию – без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.

Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро – 10-ю долю.

Если вы желаете попытать

свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 килограммов золота и 2 кг серебра, и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10 кг, а всего 9 1/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец предполагается изготовленным из сплошного металла, без пустот.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ВЕСАХ И ВЗВЕШИВАНИИ (№№ 21–30)

Решение задачи № 21

Обыкновенно отвечают, что бревно, увеличенное в толщину вдвое, но вдвое же укороченное, не должно изменить своего веса Однако это не верно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 килограммов.

Решение задачи № 22

При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса [12] . Поэтому гири под водой будут иметь 7/8 прежнего веса, гвозди – также 7/8 своего прежнего веса. И так как гири были в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.

Решение задачи № 23

Из условия задачи мы знаем, что, во-первых,

вес бутылки + вес керосина = 1000 граммов.

А во-вторых, так как кислота вдвое тяжелее керосина, мы знаем, что

вес бутылки + двойной вес керосина = 1600 граммов.

Отсюда ясно, что разница в весе 1600–1000, т. е. 600 граммов, есть вес керосина в объеме бутылки. Но бутылка вместе с керосином весит 1000граммов; значит, бутылка весит 1000-600 = 400 граммов.

Действительно: вес кислоты (1600-400 = 1200 гр.) оказывается вдвое больше веса керосина.

Решение задачи № 24

3/4 бруска мыла + 3/4 килограмма весят столько, сколько целый брусок. Но в целом бруске содержится 3/4 бруска + 1/4 бруска. Значит, 1/4 бруска весит 3/4 килограмма. И следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем 3/4 кг, т. е. 3 килограмма.

Решение задачи № 25

Сравнивая оба взвешивания, легко видеть, что от замены одной кошки одним котенком вес груза уменьшился на 15–13, т. е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котенка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырех кошек котятами: у нас будет тогда всех 4+3 = 7 котят, а стрелка весов вместо 15 килограммов покажет на 2x4, т. е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15-8 = 7 килограммов.

Отсюда ясно, что котенок весит 1 килограмм, взрослая же кошка 1+2 = 3 килограмма.

Решение задачи № 26

Сравним первое и второе взвешивание. Вы видите, что раковину при первом взвешивании мы можем заменить 1 кубиком и 8 бусинами, потому что они имеют одинаковый вес. У нас оказалось бы тогда на левой чашке 4 кубика и 8бусин, и это уравновешивалось бы 12 бусинами. Сняв теперь с каждой чашки по 8 бусин, мы не нарушим равновесия, останется же у нас на левой чашке 4 кубика, на правой – 4 бусины. Значит, кубик и бусина весят одинаково.

Теперь ясно, сколько бусин весит раковина: заменив (второе взвешивание) 1 кубик на правой чашке бусиной, узнаем, что

вес раковины = весу 9 бусин.

Результат наш легко проверить: замените при первом взвешивании кубики и раковины на левой чашке соответственным числом бусин: получите 3+9 = 12, как и должно быть.

Решение задачи № 27

Заменим при первом взвешивании 1 грушу 6-ю персиками и яблочком: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6персиков и яблочко. У нас окажется на левой чашке 4 яблочка и 6 персиков, на правой – 10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько и 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь легко уже сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.

Решение задачи № 28

Задачу эту можно решать на разные лады. Вот один из способов.

Заменим при третьем взвешивании каждый кувшин одной бутылкой и 1стаканом (из первого взвешивания мы видим, что весы при этом должны оставаться в равновесии). Мы узнаем тогда, что 2 бутылки и 2 стакана уравновешиваются 3 блюдцами. Каждую бутылку мы, на основании второго взвешивания, можем заменить 1 стаканом и 1 блюдцем. Окажется тогда, что

4 стакана и 2 блюдца уравновешиваются 3 блюдцами.

Сняв с каждой чашки весов по 2 блюдца, узнаем, что

4 стакана уравновешиваются 1 блюдцем.

И следовательно, бутылка уравновешивается (ср. второе взвешивание) 5 стаканами.

Решение задачи № 29

Порядок отвешивания таков. Сначала кладут на одну чашку молоток, на другую гирю и столько сахарного песку, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на эту чашку песок весит 900–500 = 400 граммов. Ту же операцию выполняют еще 3 раза; остаток песку весит 2000-(4x400) = 400 граммов.

Теперь остается только каждый из пяти полученных 400-граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь очень просто: рассыпают содержимое 400-граммового пакета в два картуза, поставленные на разных чашках, пока весы не уравновесятся.

Решение задачи № 30 Если бы заказанный венец был сделан целиком из чистого золота, он весил бы вне воды 10 кг, а под водой потерял бы 20-ю долю этого веса, т. е. полкилограмма. В действительности же венец, мы знаем, теряет в воде не 1/2 кг, а 10 – 9 1/4 = 3/4 кг. Это потому, что он содержит в себе серебро, металл, теряющий в воде не 20-ю, а 10-ю долю своего веса. Серебра должно быть в венце столько, чтобы венец терял в воде не 1/2 кг, а 3/4 кг – на 1/4 кг более. Если в нашем чисто золотом венце заменим мысленно 1 кг золота серебром, то венец будет терять в воде больше, нежели прежде, на 1/10 – 1/20 = 1/20 кг. Следовательно, чтобы получилось требуемое увеличение потери веса на 1/4 кг, необходимо заменить серебром столько килограммов золота, сколько раз 1/20 кг содержится в 1/4 кг; но 1/4 : 1/20 = 5. Итак, в венце было 5 кг серебра и 5 кг золота, – вместо выданных 2 кг серебра и 8 кг золота. Три килограмма золота было утаено и заменено серебром.

Глава IV Задачи с квадратами

ЗАДАЧА № 31

Пруд

Имеется квадратный пруд (рис. 26). По углам его, близ самой воды, растет 4 старых развесистых дуба. Пруд понадобилось расширить, сделать вдвое больше по площади, сохраняя квадратную форму. Но вековых дубов трогать не желают. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все 4 дуба, оставаясь на своих местах, не были затоплены водой, а стояли бы у берегов нового пруда?

Рис. 26. Задача о пруде.

ЗАДАЧА № 32 Паркетчик

Паркетчик, вырезая квадраты из дерева, проверял их так: он сравнивал длины их сторон, и если все четыре стороны были равны, то считал квадрат вырезанным правильно.

Надежна ли такая проверка?

ЗАДАЧА № 33 Другой паркетчик

Другой паркетчик проверял свою работу иначе. Он мерил не стороны, а диагонали (т. е. те косые линии, которые, перекрещиваясь, соединяют углы). Если обе диагонали оказывались равными, паркетчик считал квадрат вырезанным правильно.

Вы тоже так думаете?

ЗАДАЧА № 34 Третий паркетчик

Третий паркетчик при проверке квадратов убеждался в том, что все 4 части, на которые диагонали разделяют друг друга (черт. 27), равны между собой. По его мнению, это доказывало, что вырезанный четырехугольник есть квадрат.

А по-вашему?

Рис. 27.