Для юных математиков. Веселые задачи
Шрифт:
Это необходимое расположение придает стерженькам ключ с соответственными выступами на краю: достаточно его вставить, чтобы стерженьки заняли то определенное и единственное расположение, которое необходимо для открытия замка.
Теперь легко понять, что число различных замков этого типа может быть действительно весьма велико. Оно зависит от того, сколькими способами можно разрезать каждый стержень на две части; число это, разумеется, не бесконечно, если принять во внимание ограниченную высоту зубчиков ключа.
Предположите, что каждый стерженек можно разрезать на две части 10-ю способами, и попробуйте сосчитать, сколько же различных французских замков можно при таком условии изготовить?
ЗАДАЧА № 60 Cкромная наградаЗадача, которую я вам сейчас предложу, не нова, даже очень не нова. Она общеизвестна, но именно потому я и включил ее в этот сборник головоломок. Ведь книжка моя предназначается не для тех, кто знает все общеизвестное, а для тех, кому это еще должно стать известным.
Итак, пусть вам станет отныне известна старинная легенда о том, какую награду попросил себе древний мудрец Сета у индусского правителя Шерама за то, что придумал шахматную игру. Мудрец просил вознаградить его за изобретение шахматной доски тем, чтобы выдать за первое ее поле всего 1 пшеничное зерно, за второе поле – 2 зерна, за третье – 4, за четвертое – 8 и т. д., удваивая вознаграждение за каждое следующее поле, пока не будут оплачены все 64 поля доски. Что же касается шахматных фигур, то за них мудрец никакой награды не требовал.
Правитель подивился такой скромности и отпустил мудреца, приказав немедленно выдать ему следуемые зерна.
Когда спустя некоторое время правитель осведомился, исполнено ли в точности его приказание, ему в смущении ответили, что требуемая награда не может быть выдана.
– Почему? – спросил правитель.
– Почему? – спросим и мы читателя.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 51-60
Решение задачи № 51Ряд горошин был бы гораздо длиннее стола.
Если исходить из размера горошины 1/3 сантиметра, то в куб. сантиметре помещается их не менее 3x3x3 = 27, а в стакане – не менее 27x200 = 5400. Длина ряда из 5400 таких горошин равна 1/3 x 5400 = 1800 сантиметров, или 18 метров – еще больше, чем в случае крупных горошин.
Решение задачи № 52Не только дом, но и иной губернский город можно было бы окружить расположенными в ряд листьями одного дерева, потому что такой ряд тянулся бы верст на десять! В самом деле: на старом дереве не менее 200–300 тысяч листьев. Если остановиться даже на числе 250000 и считать каждый лист шириною в 5 сантиметров, то ряд получается длиною в 1250000 сантиметров, т. е. 12500 метров, или 12 1/2 километров.
Решение задачи № 53Миллион шагов гораздо больше 10 километров, больше даже 100 километров. Если длина шага примерно 3/4 метра, то 1000000 шагов = 750 километров. Так как от Москвы до Ленинграда всего 640 километров, то, сделав от Москвы миллион шагов, вы отошли бы дальше, чем на расстояние до Ленинграда.
Решение задачи № 54В тот же день школьник в этом убедиться не мог, потому что, если бы он даже работал круглые сутки без перерыва, он не пересчитал бы и десятой доли всех клеточек. Действительно, в сутках 24x60x60 = 86400 секунд, а в квадратном метре 1000000 квадр. миллиметров. Понадобилось бы более 11 суток непрерывной работы, чтобы проверить прямым счетом, действительно ли в квадратном метре миллион миллиметровых клеточек. Если же считать по десять часов в сутки, то на подобную проверку понадобилось бы около месяца. Мало у кого достанет терпения выполнить такой счетный подвиг [15] .
Решение задачи № 55Оба ответа далеки от истины, потому что столб получился бы во сто раз выше самой высокой горы на земле. Действительно: в кубическом метре 1000x1000x1000, т. е. миллиард кубических миллиметров. Поставленные один на другой, они образовали бы столб высотою в 1000000000 миллиметров, или 1000000 метров, или 1000 километров!
Решение задачи № 56В одном ящике указанных размеров не только поместятся все люди земного шара, но могло бы поместиться почти втрое больше! Легко вычислить, что если 5 человек занимают объем в 1 куб. метр, то 1800000000 человек заняли бы 360 миллионов кубических метров, – между тем в кубическом километре 1000 миллионов кубических метров.
Решение задач и № 57Волос, если бы был в миллион раз толще, превосходил бы по ширине не только любую печку или комнату, но и почти любое здание, потому что поперечник его равнялся бы 50 метрам!
Действительно, умножим ширину волоса 0,05 мм на 1000000. Получим 50000 мм, или 50 метров.
Такую ширину имела бы, между прочим, и каждая точка типографского шрифта этой книги, если бы она увеличилась в поперечнике в миллион раз. А каждая буква имела бы при подобном увеличении более двух верст в высоту!
Эти неожиданные результаты показывают, что представление наше о миллионе далеко не так отчетливо, как мы обычно думаем.
Решение задачи № 58Число портретов значительно больше тысячи. Сосчитать их можно следующим образом. Обозначим девять частей портретов римскими цифрами I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII и IX; для каждой части имеются 4 полоски, которые мы перенумеруем арабскими цифрами 1, 2, 3, 4.
Возьмем полоску I, 1. Мы можем присоединить к ней полоски II, 1; II, 2; II, 3; II, 4.
Всего, следовательно, здесь возможны 4 сочетания. Но так как часть головы I может быть представлена четырьмя полосками (I, 1; I, 2; I, 3; I, 4) и каждая из них может быть соединена с частью II четырьмя различными способами, то две верхние части головы I и II могут быть соединены 4x4 = 16 различными способами.
К каждому из этих 16 расположений можно присоединить часть III четырьмя способами (III, 1; III, 2; III, 3; III, 4), следовательно, первые три части физиономии могут быть составлены 16x4 = 64 различными способами.
Таким же образом узнаем, что части I, II, III, IV могут быть расположены 64x4 = 256 различными способами; части I, II, III, IV, V – 1024 способами; части I, II, III, IV, V, VI – 4096 способами и т. д.; наконец, все девять частей портрета можно соединить 4x4x4x4x4x4x4x4x4, т. е. 262144 способами.
Итак, из 9 наших брусков возможно составить не 1000, а больше четверти миллиона различных портретов!
Задача весьма поучительна: она объясняет нам, почему так редко встречаются две одинаковые человеческие физиономии. Еще Владимир Мономах в своем «Поучении» изумлялся тому, что при огромном числе людей на свете каждый имеет свое особое лицо. Но мы сейчас убедились, что если бы человеческое лицо характеризовалось всего 9-ю чертами, допускающими каждая всего 4 видоизменения, то могло бы существовать более 260000 различных лиц. В действительности же характерных черт человеческого лица гораздо больше 9, и видоизменяться они могут больше чем 4 способами. Так, при 20 чертах, варьирующих каждая на 10 ладов, мы имеем различных лиц:
10x10x10x10… (20 множителей), т. е.
100000000000000000000.
Это во много раз больше, чем людей во всем мире (1800000000).
Решение задачи № 59Рассуждая подобно тому, как и при решении предыдущей задачи, нетрудно сосчитать, что число различных замков равно 10x10x10x10x10 = 100000.
Каждому из этих 100000 замков соответствует особый ключ, – единственный, которым возможно его открыть. Существование ста тысяч различных замков и ключей, конечно, вполне обеспечивает владельца замка, так как у желающего вкрасться в помещение с помощью подобранного ключа есть только 1 шанс из 100000 напасть на подходящий ключ.
Наш подсчет только примерный: он сделан в предположении, что каждый стерженек замка может быть разделен надвое только 10-ю способами. В действительности это возможно сделать, вероятно, большим числом способов, и тогда число различных замков значительно увеличивается.
Решение задачи № 60«Скромная награда» не могла быть выдана потому, что не только в Индии, но и во всем мире нет того количества зерен, какое она насчитывает!
Самое вычисление затребованной суммы зерен представляет собой нелегкую задачу. В самом деле: требуется сложить ряд чисел:
1+2+4+8+16+32+64+128+ и т. д.
Здесь выписаны только первые 8 чисел. Но остается еще 56. Чтобы узнать последнее, 64-е число, нужно умножить число 2 само на себя 62 раза. Индусы, – они не знали еще логарифмов, сокращающих подобные вычисления, – должны были выполнить это умножение обычными приемами арифметики; а стоит лишь приступить к этой работе, чтобы ощутить, насколько это утомительно. Правда, можно облегчить себе работу и сэкономить много времени, разбив наши 63 множителя на группы, по 7 двоек в каждом; тогда придется перемножить «только» 9 множителей, каждый из которых равен 128, – или же, если хотите, «всего» три множителя, каждый из которых = (128x128x128). Но на деле вы убедились бы, что слова «только» и «всего» недаром взяты здесь в кавычки, потому что работы остается предостаточно. А ведь это только одно последнее, 64-е слагаемое; надо же знать все предыдущие 63 слагаемых, да кроме того эти числа сложить…
Для тех, кто проходил алгебру и знаком с логарифмами и прогрессиями, выполнение этого расчета – правда, лишь приближенное, с точностью до 100000-й доли результата – не составило бы никакого труда. Так как у читателей этой книжки я не могу предполагать таких познаний из алгебры, а с другой стороны, не собираюсь засадить их за многочасовые выкладки, то укажу простой способ получить хотя бы грубо-приблизительное представление об истинных размерах «скромной награды» индусского мудреца.
Продолжив ряд
2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д.
до 10-го члена его, мы получим 1024. Так как мы стремимся только приблизительно определить, как велико последнее слагаемое, то позволительно в числе 1024 откинуть 24 единицы, чтобы получить круглое число 1000. Если первые десять двоек при перемножении дали около 1000, то столько же получится от умножения и следующих 10 двоек, а также дальнейших групп из 10 двоек. Всех множителей-двоек у нас 63, т. е. шесть групп по 10 и еще седьмая группа из трех двоек. Значит, число зерен, причитающееся изобретателю за последнее, 64-е поле шахматной доски должно приблизительно равняться
1000x1000x1000x1000x1000x1000x(2x2x2) = 8000000000000000000.
Восемь триллионов зерен – вот примерная величина последнего слагаемого!
Чтобы вычислить (приблизительно) всю сумму, обратим внимание на поучительную особенность ряда
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д.
Легко заметить, что каждое число в нем равно сумме всех предыдущих, увеличенной на 1. Например:
8 = (1+2+4)+1; 16 = (1+2+4+8)+1; 32 = (1+2+4+8+16)+1.
Понятно, что и последнее, 64-е число этого ряда равно сумме 63-х предыдущих + 1. Но мы уже знаем, что это последнее число равно (приблизительно) 8-ми триллионам. Следовательно, сумма всех предыдущих чисел тоже приблизительно равна 8 триллионам, а общее число всех зерен, причитающихся изобретателю, приблизительно равно
16000000000000000000.
Результат этот, однако, заведомо меньше истинного – вспомните, что в каждом из 6 множителей мы откидывали 24 единицы (брали ровно 1000 вместо 1024). Точное вычисление дало бы результат:
18446744073709551515.
Чтобы помочь вам ощутить огромность этого числа, замечу, что в кубическом метре (80-ведерной бочке) помещается 15 миллионов пшеничных зерен. «Скромная награда» должна была поэтому занять объем приблизительно в 12000000000000 кубических метров. Это составляет 12000 кубических километров!
Далее. Поверхность земного шара – всех его материков и океанов – равна 500 биллионам кв. метров. Значит, если рассыпать наше число зерен ровным слоем по всему миру, то слой этот имел бы в толщину 12:500 = 0,024 метра, или примерно 1/4 сантиметра. Будь земной шар целиком превращен в сплошное пшеничное поле (для чего понадобилось бы осушить океаны, растопить полярные льды и оросить все пустыни), то урожай целиком пошел бы в награду изобретателю шахматной игры.
В заключение предлагаю читателю самому вычислить, какая длина получилась бы, если бы все эти зерна выложить в один ряд. На всякий случай сообщаю,Глава VII Путешествия по кристаллу и непрерывное черчение
ЗАДАЧИ №№ 61-70
– Чем эта муха на кристалле вас так заинтересовала?
– Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, все время придерживается она ребер и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по гребням, когда рядом сколько угодно плоских мест?
– Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани этого кристалла?
– Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!
– И при этом на практике разрешает интересную задачу: обойти весь многогранник по его ребрам, не посещая дважды ни одного ребра.
– Разве это возможно?
– В данном случае вполне: ведь этот кристалл – восьмигранник.
– Да, октаэдр. Что же из этого?
– У него на каждой вершине сходятся 4 ребра.
– Разумеется. Но какое же отношение имеет это к нашей задаче?
– Самое непосредственное. Задача обойти все ребра многогранника, и притом не более чем по одному разу, разрешима только для тех многогранников, у которых на каждой вершине сходится четное число ребер.
Рис. 45. Муха на кристалле.
– Вот как! Я об этом не знал. Почему же?
– Почему у каждой вершины должно сходиться именно четное число ребер? Очень просто. Надо ведь на каждую вершину попасть и надо с нее уйти, – значит, нужно, чтобы к ней вела одна дорога и от нее отходила другая, т. е. чтобы у нее сходилась пара ребер. Если же, продолжая путешествовать по кристаллу, вы попадете на ту же вершину вторично, т. е. если к ней ведет еще и третье ребро, то должно иметься непременно и четвертое ребро, чтобы вы могли уйти с этой вершины, а не очутиться в тупике. Другими словами, число ребер, сходящихся у каждой вершины, должно быть парное, т. е. четное. Если хотя бы одна вершина многогранника имеет нечетное число сходящихся к ней ребер, то на такую вершину вы, исчерпав все ведущие к ней парные ребра, можете попасть, конечно, по последнему неиспользованному ребру, – но покинуть этой вершины уже не сможете: путешествие здесь поневоле оборвется.
– Но я могу ведь совсем не воспользоваться этим ребром, раз оно заведомо ведет в тупик!
– Тогда вы не выполните другого условия нашего путешествия: пройти по всем ребрам без исключения.
– Позвольте: но может же случиться, что это ребро как раз последнее и единственное еще не пройденное. Тогда нет вовсе надобности покидать его: оно и будет конечной целью путешествия.
– Совершенно правильно. И если бы в фигуре была только одна «нечетная» вершина, то вам нужно было бы избрать такой маршрут, чтобы вершина эта оказалась последним этапом, – тогда вы разрешили бы задачу успешно. Или же можете начать с этой вершины – тогда вам не придется на нее возвращаться. Я должен только прибавить к этому, что фигуры с одной «нечетной» вершиной существовать не может: таких вершин должно быть четное число – две, четыре, шесть и т. д.
– Это почему же?
– Подумайте о том, что каждое ребро соединяет две вершины. И если какая-нибудь вершина имеет ребро без пары, то ребро это должно упираться в какую-нибудь соседнюю вершину и там тоже быть непарным ребром.
– А если соседняя вершина была бы без этого ребра тоже нечетная? Тогда новое ребро делает ее «четной», и наша «нечетная» вершина остается одинокой.
– Этого не может быть. Если без нашего ребра у соседней вершины сходится нечетное число ребер, то, значит, одно из ее ребер, остающееся вне пары, соединено со следующей вершиной, и следовательно «нечетная» вершина будет найдена дальше, но все же будет существовать. Вы видите, что если в фигуре имеется одна «нечетная» вершина, то непременно должна существовать и вторая. Число «нечетны х» вершин не может быть нечетным. Поясню это еще и иным путем, пожалуй, более простым. Предположите, что вы желаете сосчитать, сколько ребер в какой-нибудь фигуре. Вы считаете ребра, сходящиеся у одной вершины, прибавляете ребра, сходящиеся у второй, потом – у третьей и т. д. Когда вы все это сложите, что у вас получится?
– Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось по два раза: ведь каждое ребро соединяет две вершины.
– Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что у одной из вершин сходится нечетное число ребер, а у всех прочих – четное, то результат сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоен – ное целое число быть нечетным?
– Не может, конечно. Теперь мне вполне ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре – вообще, четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней. Путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.
– Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или – что то же самое – правило вычерчивания фигур одним почерком пера. Если требуется непрерывным движением начертить фигуру – безразлично, в плоскости или в пространстве, – то прежде всего внимательно рассмотрите фигуру и определите, имеются ли у нее «нечетные» вершины, т. е. такие вершины, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, – то нужно начать вычерчивание из одной «нечетной» точки и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можете начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ выполнить всю фигуру, возвратившись к начальной точке. Каким путем вы в таком случае поведете перо – безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуры раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф (черт. 46). Можно ли ее начертить одним почерком пера?
– В ней всего две «нечетные» вершины, именно концы палки. Значит, ее начертить одним почерком пера возможно. Но как?
– Надо начать с одного конца палки и кончить другим, вот так (черт. 47).
– В детстве я ломал свою голову над тем, чтобы начертить одним почерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (черт. 48). Мне этого никак не удавалось сделать.
– И не удивительно: ведь в ней 4 нечетных вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову над этой задачей: она неразрешима.
– А такая фигура (черт. 49)?
– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины.
Зато легко начертить фигуры черт. 50-й и 51-й: у них все вершины «четные» (решение для черт. 51 – см. чер. 52). Теперь перейдем к той задаче, которую собирается решить наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра непрерывным движением. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому вы можете начать путешествовать с любой вершины и возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (черт. 53):
– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге. – Извольте.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 61–70.
Из представленных на стр. 210 и 211 фигур безусловно могут быть начерчены непрерывной линией фигуры 62-я, 64-я, 65-я, 67-я, 68-я, 69-я и 70-я. В этих фигурах у всех точек пересечения сходится четное число линий, – следовательно, можно начать чертить с любой точки. Каждая точка может служить начальной, она же будет и конечной. Выполнение чертежей показано на стр. 212 и 213.
Фигура 61-я заключает только две «нечетные» точки, именно те места, где ручка молотка входит в головку: у них сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать в одной из «нечетных» точек и кончить в другой.
То же относится и к фигуре 63-й: она содержит только две «нечетных» точки, m и n: они и должны быть начальной и конечной точкой при черчении.
Фигура 66-я заключает более двух «нечетных» точек, – а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.
Рис. 54. Задачи на непрерывное вычерчивание фигур: №№ 61–66.
Глава VIII Десять разных задач
ЗАДАЧА № 71
Горизонт
Часто приходится читать и слышать, что одно из убедительных доказательств шарообразности земли – круглый вид горизонта. Так как всюду линия горизонта – окружность, то земля наша должна быть шаром.
Подумайте, однако: какую фигуру имела бы линия горизонта, если бы земля наша была не шарообразная, а плоская, бесконечно простираясь во все стороны?
ЗАДАЧА № 72
Где и когда?
Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок
Рано утром, вечерком,
В полдень, на рассвете…